§ 6. Силы тяготения

Определения и обозначения

Сила гравитационного взаимодействия — сила взаимного притяжения любых тел, обладающих массой. Каждое тело притягивает другое, а направление силы проходит вдоль прямой, соединяющей их центры. Это понятие помогает описывать не только падение предметов, но и движение планет и спутников.

Закон всемирного тяготения задаёт силу притяжения двух тел формулой F = Gm₁m₂/r². Здесь m₁ и m₂ — массы тел, а r — расстояние между их центрами масс, а не между поверхностями. Закон позволяет рассчитать силу, если известны массы и расстояние.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения, равный примерно 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она задаёт масштаб гравитационного взаимодействия в выбранной системе единиц. Её значение очень мало, поэтому притяжение тел привычных масс обычно слабо.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает находящееся около неё тело. У поверхности Земли её модуль выражается формулой F = mg, где m — масса тела, а g — ускорение свободного падения, приблизительно равное 9,8 м/с². Формула нужна для расчёта притяжения Земли без отдельного вычисления её массы и радиуса.

Как это устроено

Гравитационное взаимодействие существует между любыми телами, потому что любое тело обладает массой, а масса связана с гравитационным действием. Однако сила пропорциональна произведению масс и включает очень малую постоянную G. Поэтому между небольшими предметами она намного слабее, чем притяжение Земли, и её трудно заметить без точных измерений.

Взаимное притяжение действует вдоль линии между центрами тел, потому что для тел, которые можно считать точечными или сферически симметричными, результирующее действие направлено именно по этой линии. По третьему закону Ньютона тела действуют друг на друга с одинаковыми по модулю силами. Направлены они противоположно и приложены к разным телам, поэтому не уничтожают друг друга на одном теле.

У поверхности планеты расстояние от тела до её центра примерно равно радиусу R планеты. Закон тяготения даёт силу F = GMm/R², где M — масса планеты, а m — масса тела. Сопоставляя её с F = mg, получаем g = GM/R²: ускорение свободного падения зависит от массы и радиуса планеты, но не от массы падающего тела.

Если тело удаляется от Земли, расстояние r от него до центра Земли растёт, а сила становится F = GMm/r². Такое уменьшение называют зависимостью по закону обратных квадратов: знаменатель содержит r², а не просто r. Поэтому увеличение расстояния в два раза уменьшает силу в четыре раза, если массы тел остаются прежними.

Сила тяжести действует на само тело со стороны Земли и приложена к телу. Вес — это сила, с которой тело действует на опору или подвес, поэтому приложен он к опоре или подвесу. При покое на горизонтальной опоре модули веса и силы тяжести обычно равны, но это не одна и та же сила; при ускоренном движении они могут различаться.

Силы гравитационного взаимодействия

Сначала выбери нужную строку формулы: общий закон применяют к двум телам, а F = mg — для тела около поверхности Земли. Затем проверь, какие данные известны и к какому телу приложена рассматриваемая сила. Расстояние r в общем законе всегда отсчитывают между центрами масс.

Разбор задач

1. Притяжение двух тел

Два небольших тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 0,5 м между центрами. Найдём силу их притяжения. Малые размеры позволяют использовать закон всемирного тяготения непосредственно, а данные уже записаны в единицах СИ.

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r². Он показывает, что массы перемножаются, а расстояние нужно возвести в квадрат.
2. Подставляем значения: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 2 · 3 / 0,5² = 1,60 · 10⁻⁹ Н. В знаменателе получаем 0,25 м².
3. Проверяем порядок величины: небольшие массы и малая G дают очень слабую силу. Ответ выражен в ньютонах, как и должно быть для силы.

Ответ: сила притяжения равна примерно 1,6 · 10⁻⁹ Н.

2. Изменение силы

Массу одного тела увеличили в 3 раза, а расстояние между центрами тел — в 2 раза. Определим, во сколько раз изменилась сила притяжения. Вторую массу считаем неизменной, поэтому сравним новую формулу с исходной, не подставляя конкретные значения масс.

1. По закону тяготения сила пропорциональна произведению масс. Увеличение одной массы в 3 раза само по себе увеличило бы силу в 3 раза.
2. Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Увеличение расстояния в 2 раза уменьшает силу в 2² = 4 раза.
3. Перемножаем оба изменения: F₂/F₁ = 3/4. Значит, после изменений сила меньше исходной, а не больше.

Ответ: сила станет равна 3/4 первоначальной, то есть уменьшится в 4/3 раза.

3. Масса планеты

У поверхности планеты радиус равен 4,0 · 10⁶ м, а ускорение свободного падения — 5,0 м/с². Найдём массу планеты. Считаем, что планета сферическая, а тело находится у её поверхности, поэтому расстояние до центра равно радиусу.

1. Сила притяжения тела массы m планетой равна F = GMm/R². У поверхности та же сила является силой тяжести F = mg.
2. Приравниваем выражения и сокращаем m: GMm/R² = mg, откуда M = gR²/G. Масса пробного тела не влияет на результат.
3. Подставляем значения: M = 5,0 · (4,0 · 10⁶)² / (6,67 · 10⁻¹¹) ≈ 1,2 · 10²⁴ кг. Квадрат радиуса составляет 1,6 · 10¹³ м².

Ответ: масса планеты примерно равна 1,2 · 10²⁴ кг.

Типичные ошибки

Подстановка расстояния между поверхностями вместо расстояния между центрами даёт заниженное r и завышенную силу. Так ошибаются, принимая видимый промежуток между предметами за расстояние из формулы. Для проверки отметь центры тел и измерь промежуток именно между ними, прибавив радиусы, если дано расстояние между поверхностями.

Иногда считают, что сила обратно пропорциональна самому расстоянию, и при его удвоении делят силу на два. Ошибка возникает, если забыть квадрат в знаменателе закона. Подставь отношение расстояний в виде (r₂/r₁)²: при удвоении расстояния сила должна уменьшиться в четыре раза.

Неверно изображать силы двух тел направленными одинаково или приложенными к одному телу. Это происходит, когда забывают, что речь идёт о паре взаимодействия по третьему закону Ньютона. Проверь схему: одна сила действует на первое тело, другая — на второе, а стрелки направлены навстречу друг другу.

Силу тяжести часто называют весом, потому что в простых ситуациях их модули совпадают. Но сила тяжести действует со стороны Земли на тело, а вес — со стороны тела на опору или подвес. Самопроверка: укажи, какое именно тело испытывает действие каждой силы; если это одно и то же тело, силы не следует отождествлять.

Связь с другими темами

Для изучения тяготения нужны понятия силы, массы, расстояния, вектора силы и третий закон Ньютона. Закон всемирного тяготения объясняет движение планет, спутников и космических аппаратов, а формула F = mg применяется при решении задач о свободном падении. Связь g = GM/R² позволяет сравнивать притяжение у поверхности разных планет и связывает движение тел с массой и радиусом небесного тела.

Что запомнить

• Все тела притягиваются друг к другу.
• Сила гравитационного взаимодействия пропорциональна произведению масс тел.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Силы взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей центры тел.
• Силы, с которыми два тела притягивают друг друга, равны по модулю и противоположны по направлению.
• У поверхности Земли силу тяжести находят по формуле F = mg.
• Сила тяжести и вес тела — разные силы.