§ 7. Силы тяготения

Определения и обозначения

Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения любых двух тел, зависящая от их масс и расстояния между ними. Её обозначают F и измеряют в ньютонах. Понятие нужно, чтобы описывать как падение предметов, так и движение планет.

Гравитационная постоянная — коэффициент G в законе всемирного тяготения, характеризующий силу гравитационного взаимодействия. Её значение одинаково для любых тел: G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Благодаря G можно по массам и расстоянию рассчитать силу притяжения.

Сила тяжести — сила притяжения тела к Земле или другому небесному телу. Она действует на тело и направлена к центру притягивающего объекта. Это частный случай силы всемирного тяготения, с которым чаще всего сталкиваются на поверхности Земли.

Ускорение свободного падения — ускорение тела под действием силы тяжести, обозначаемое g. У поверхности Земли его обычно принимают равным 9,8 м/с² или примерно 10 м/с². Величина g помогает заменить общий закон тяготения более простой формулой Fтяж = mg.

Как это устроено

Любое тело с массой создаёт гравитационное поле, то есть область, в которой на другие тела действует притяжение. Поэтому притягиваются не только Земля и предмет, но и, например, два камня. Сила мала для тел обычного размера, однако у планет и звёзд их огромные массы делают гравитацию главным взаимодействием. Взаимность следует из третьего закона Ньютона: Земля притягивает предмет с такой же по модулю силой, с какой предмет притягивает Землю.

Чтобы получить закон тяготения, учитывают две зависимости. При увеличении одной массы сила растёт прямо пропорционально ей, а одновременное увеличение обеих масс даёт множитель m₁m₂. При удалении тел притяжение ослабевает как 1/r², поэтому объединение зависимостей приводит к формуле F = Gm₁m₂/r². Здесь r — расстояние между центрами тел, а не между ближайшими поверхностями.

Направление силы определяется расположением тел: притяжение всегда стремится сблизить их. Поэтому вектор силы лежит на прямой, соединяющей центры взаимодействующих тел, и направлен к центру другого тела. Для шарообразных тел или тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, удобно считать, что вся масса сосредоточена в центре. Это позволяет применять простую формулу без сложного вычисления распределения массы.

У поверхности Земли сила, действующая на тело массой m, записывается как Fтяж = mg. Эта запись получается из общего закона: если масса Земли равна M, а расстояние до её центра равно R, то F = GMm/R², следовательно, g = GM/R². При заданном месте g считают постоянным, поэтому сила тяжести оказывается прямо пропорциональна массе тела. Масса характеризует само тело, а g — свойства небесного тела и положение на нём.

Ускорение свободного падения зависит от массы небесного тела и расстояния до его центра: g = GM/r². Чем больше M, тем сильнее притяжение, а чем больше радиус или высота, тем больше r и тем меньше g. На высоте h над поверхностью Земли расстояние равно R + h, поэтому g = GM/(R + h)². Именно поэтому показания и результаты расчётов для поверхности и большой высоты различаются.

Силы тяготения и связанные с ними величины

Таблица помогает отличить общий закон взаимодействия любых тел от его частного случая у поверхности небесного тела. При выборе формулы сначала определите, известны ли расстояние между центрами и обе массы или удобнее использовать заданное g.

Разбор задач

Задача 1

Два тела массами 5 кг и 10 кг находятся на расстоянии 2 м. Нужно найти силу их взаимного тяготения. Так как даны обе массы и расстояние между центрами, применяем общий закон тяготения. Все величины уже выражены в единицах СИ.

1. Записываем формулу: F = Gm₁m₂/r².
2. Подставляем значения: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 5 · 10 / 2².
3. Вычисляем: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 50 / 4 ≈ 8,34 · 10⁻¹⁰ Н.

Ответ: сила взаимного тяготения равна примерно 8,34 · 10⁻¹⁰ Н. Она действует на каждое тело в сторону другого тела. Значение очень мало, поэтому в быту такое притяжение незаметно.

Задача 2

Расстояние между телами увеличили в 3 раза, а массы оставили прежними. В формуле сила зависит от расстояния как 1/r². Поэтому достаточно сравнить новые и прежние расстояния, не подставляя конкретные массы.

1. Пусть первоначальное расстояние равно r, тогда F₁ = Gm₁m₂/r².
2. Новое расстояние равно 3r, поэтому F₂ = Gm₁m₂/(3r)² = Gm₁m₂/(9r²).
3. Следовательно, F₂ = F₁/9.

Ответ: сила уменьшится в 9 раз. Квадрат в знаменателе особенно важен: увеличение расстояния в 3 раза не уменьшает силу только втрое. Чем дальше тела, тем быстрее ослабевает их притяжение.

Задача 3

Найти g и силу тяжести на высоте, сравнимой с радиусом Земли, если известны масса Земли M и её радиус R. Пусть высота равна R, тогда расстояние от центра Земли до тела составляет r = R + R = 2R. Сначала находим g из закона тяготения, а затем используем Fтяж = mg.

1. Записываем: g = GM/r².
2. Подставляем r = 2R: g = GM/(2R)² = GM/(4R²).
3. Силу тяжести тела массой m на этой высоте вычисляем так: Fтяж = mg = mGM/(4R²).

Ответ: на высоте, равной радиусу Земли, ускорение свободного падения в 4 раза меньше, чем у поверхности: g = GM/(4R²). Сила тяжести также уменьшается в 4 раза при той же массе тела. В задачах сначала определяйте расстояние до центра, а не высоту над поверхностью.

Типичные ошибки

Подмена расстояния. В закон тяготения иногда подставляют промежуток между ближайшими поверхностями тел, хотя нужен отрезок между их центрами масс. Ошибка возникает из-за буквального понимания слова «расстояние». Проверьте, от какой точки отсчитывается r, особенно если тела имеют заметный размер.

Зависимость 1/r вместо 1/r². Некоторые запоминают только, что сила уменьшается с расстоянием, и забывают квадрат. Из-за этого при увеличении расстояния в 3 раза получают уменьшение втрое вместо девятикратного. Всегда переписывайте знаменатель как r² и возводите в квадрат весь новый множитель.

Сила тяжести и вес. Силу тяжести тело испытывает со стороны Земли, а вес тело оказывает на опору или подвес. Их путают, потому что в покоящемся состоянии они часто равны по модулю. Для проверки спросите: на какое тело направлена сила и кто является её источником.

Формула mg на любой высоте. Запись F = mg удобна, когда g уже известно для выбранного места, но она не заменяет общий закон при больших расстояниях. Ошибка появляется, когда берут земное g без учёта высоты. Сравните высоту с радиусом Земли и при необходимости вычислите g = GM/r².

Связь с другими темами

Перед изучением сил тяготения нужны знания о массе, силе и векторе, а также о принципе действия и противодействия. При решении задач важно уметь преобразовывать формулы и работать с единицами СИ. Эти навыки помогают не путать величины и направления сил.

Тема используется при изучении движения планет и спутников, первой космической скорости и законов Кеплера. Закон тяготения объясняет, почему небесные тела движутся по орбитам. Через него связываются наблюдаемые орбиты и свойства самих планет.

Знание силы тяжести необходимо в задачах на свободное падение, движение по наклонной плоскости и равновесие. В таких задачах силу тяжести раскладывают на направления или сравнивают с другими силами. Значение g выбирают с учётом условий задачи.

Что запомнить

• Все тела с массой взаимно притягиваются.
• Сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел.
• Сила всемирного тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Сила тяготения направлена вдоль линии, соединяющей центры взаимодействующих тел.
• Сила тяжести у поверхности Земли определяется формулой Fтяж = mg.
• Ускорение свободного падения зависит от массы и радиуса небесного тела.
• Гравитационная постоянная G одинакова для всех тел и взаимодействий.