"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Если на тело действуют несколько сил, их совместное действие можно заменить одной равнодействующей. Чтобы найти её, складывают векторы сил с учётом их направлений и угла между ними. Модуль равнодействующей вычисляют по теореме косинусов, а при перпендикулярных силах — по теореме Пифагора. По равнодействующей определяют ускорение тела, изменение его скорости и перемещение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнодействующая сил — одна сила, действие которой на тело эквивалентно совместному действию нескольких сил. Её обозначают F⃗р и находят векторным сложением всех действующих сил. Это позволяет заменить сложную картину одной силой и применить второй закон Ньютона.
Сложение сил по правилу параллелограмма — построение вектора равнодействующей как диагонали параллелограмма, стороны которого изображают складываемые силы. Векторы сил переносят параллельно так, чтобы они начинались в одной точке. Такое построение показывает и модуль результата, и его направление.
Угол между силами — угол между направлениями векторов сил, приложенных к одному телу. Обычно его обозначают α. От этого угла зависит, усилят силы друг друга или частично компенсируются.
Проекция силы — составляющая силы вдоль выбранного направления, определяющая действие силы по этой оси. Например, Fx = F cos α, если α отсчитывают от оси x. Проекции удобны, когда силы направлены под сложными углами.
Несколько сил можно заменить одной равнодействующей, потому что в уравнении движения учитывается именно их общий векторный результат. Если последовательно сложить векторы сил, конечный вектор покажет тот же эффект, что и отдельные силы вместе. Поэтому записывают F⃗р = F⃗1 + F⃗2 + …, а не складывают только численные значения.
Модуль равнодействующей двух сил зависит от F₁, F₂ и угла α между ними. В параллелограмме диагональ вместе с двумя сторонами образует треугольник, к которому применима теорема косинусов: Fр² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos α. Косинус появляется потому, что одна сила имеет составляющую вдоль направления другой, равную F₂ cos α.
Направление равнодействующей находят по её компонентам, а не выбирают автоматически по направлению большей силы. Если оси выбраны удобно, вычисляют Fрx = ΣFx и Fрy = ΣFy, затем строят вектор с такими проекциями. Поэтому равнодействующая обычно отклонена от обеих сил; большая сила лишь сильнее влияет на её направление.
По второму закону Ньютона F⃗р = m a⃗, поэтому a⃗ = F⃗р/m. Если равнодействующая постоянна, ускорение постоянно: скорость меняется на Δv⃗ = a⃗t, а перемещение определяется формулой s⃗ = v⃗₀t + ½a⃗t². Так можно отдельно рассмотреть движение по каждой оси и затем объединить полученные компоненты.
При сонаправленных силах результат направлен туда же, а модули складываются. При перпендикулярных силах получается прямоугольный треугольник, и используется теорема Пифагора; при противоположных направлениях модули вычитаются. Если силы уравновешены и F⃗р = 0, ускорения нет: тело сохраняет покой или равномерное прямолинейное движение.
| Случай | Угол между силами | Модуль равнодействующей | Направление равнодействующей | Движение тела |
|---|---|---|---|---|
| Силы сонаправлены | 0° | Fр = F₁ + F₂ | Совпадает с направлениями сил | Ускорение в сторону сил |
| Силы перпендикулярны | 90° | Fр = √(F₁² + F₂²) | По диагонали прямоугольника | Ускорение по равнодействующей |
| Силы направлены под произвольным углом | 0° < α < 180° | Fр = √(F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos α) | По сумме проекций | Движение с ускорением Fр/m |
| Силы противоположно направлены | 180° | Fр = |F₁ − F₂| | В сторону большей силы | Ускорение в сторону большей силы |
| Силы уравновешены | Результат равен нулю | Fр = 0 | Направление не определяется | Покоящееся или равномерное движение |
Сначала определите угол между силами и выберите соответствующую строку. Если угол не является особым, используйте теорему косинусов для модуля и проекции для направления.
После нахождения равнодействующей разделите её модуль на массу тела, чтобы получить модуль ускорения. Нулевая строка означает отсутствие ускорения, а не обязательную остановку тела.
На тело массой 2 кг действуют перпендикулярные силы 3 Н и 4 Н. Требуется найти равнодействующую и ускорение. Так как угол равен 90°, силы образуют катеты прямоугольного треугольника.
Ответ: Fр = 5 Н, a = 2,5 м/с².
На тело действуют силы 10 Н и 6 Н под углом 60°. Нужно найти модуль равнодействующей и её отклонение от первой силы. За ось x направим первую силу, а вторую разложим на составляющие.
Ответ: Fр = 14 Н, равнодействующая отклонена от первой силы примерно на 21,8° в сторону второй силы.
Тело массой 5 кг имеет начальную скорость 2 м/с вдоль силы 12 Н. Одновременно действует сила 5 Н перпендикулярно ей в течение 4 с. Выберем ось x вдоль начальной скорости и силы 12 Н, а ось y — вдоль силы 5 Н.
Ответ: Δv⃗ = (9,6; 4) м/с, |Δv⃗| = 10,4 м/с; s⃗ = (27,2; 8) м, |s⃗| ≈ 28,3 м.
Складывают модули сил независимо от направлений. Так делают, когда забывают, что сила является вектором. Проверьте угол: при 90° нужна теорема Пифагора, а при 180° — вычитание.
Неправильно строят параллелограмм. Векторы должны начинаться в одной точке, а равнодействующая — быть диагональю из этой точки к противоположной вершине. Полезно сначала отметить начало обоих векторов и только потом проводить параллельные стороны.
Считают направление равнодействующей направлением большей силы. Вторая сила тоже изменяет результат, даже если меньше первой. Найдите обе проекции и проверьте, в каком квадранте находится полученный вектор.
Думают, что несколько сил обязательно создают ускорение. Разные силы могут полностью компенсировать друг друга. Сложите их векторы: если F⃗р = 0, ускорение отсутствует, хотя тело может двигаться равномерно.
Для решения задач нужны знания о векторах, их сложении и разложении, теореме косинусов и втором законе Ньютона. Метод равнодействующей используется при изучении наклонной плоскости, движения под действием тяжести и силы сопротивления. Он также помогает анализировать равновесие, движение по окружности и любые ситуации с несколькими силами.
Почему силы нельзя просто сложить арифметически?
Сила является векторной величиной: у неё есть не только модуль, но и направление. Поэтому результат сложения зависит от угла между силами: при совпадении направлений модули складываются, а при противоположных направлениях вычитаются.
Как определить направление равнодействующей?
Нужно сложить векторы сил графически или разложить их на составляющие по выбранным осям. Затем направление находят по отношению суммарных проекций, например используя тангенс угла.
Что происходит с равнодействующей, если угол между силами увеличивается?
При неизменных модулях сил равнодействующая обычно уменьшается, потому что в формуле появляется cos α, а косинус уменьшается при росте угла от 0° до 180°. Максимум получается при сонаправленных силах, минимум — при противоположно направленных.
Может ли тело двигаться, если равнодействующая всех сил равна нулю?
Да. Нулевая равнодействующая означает отсутствие ускорения, поэтому тело может покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно.
Как связаны равнодействующая сила и ускорение тела?
По второму закону Ньютона a⃗ = F⃗р/m. Ускорение прямо пропорционально равнодействующей, обратно пропорционально массе и направлено так же, как равнодействующая.
6. Движение тела под действием сил, направленных под углом друг к другу
