5. Графики зависимости скорости тела от времени и равнодействующая

Определения и обозначения

График скорости — графическое представление зависимости скорости тела от времени: по горизонтали откладывают время t, по вертикали — скорость v. Он нужен, чтобы быстро увидеть движение тела и определить его скорость в выбранный момент.

Равнодействующая сила — сила, заменяющая совместное действие всех сил, приложенных к телу. Её находят векторным сложением сил, поэтому она показывает общий результат их действия и определяет ускорение тела.

Ускорение — величина, показывающая, как быстро изменяется скорость тела. На графике скорости ускорение связано с наклоном линии: чем больше изменение скорости за то же время, тем больше модуль ускорения.

Наклон графика — отношение изменения скорости к изменению времени на выбранном участке: a = Δv/Δt. Этот показатель позволяет перейти от изображения движения к точному вычислению ускорения.

Как это устроено

Чтобы определить скорость в выбранный момент, на оси времени находят нужное значение t и проводят мысленно вертикаль до графика. Затем из найденной точки смотрят горизонтально на ось скорости и считывают v. Например, на графике с точкой (5 с; 5 м/с) через 5 с тело движется со скоростью 5 м/с.

Горизонтальный участок означает, что при увеличении времени координата по вертикали не меняется. Значит, скорость остаётся постоянной и тело проходит за равные промежутки времени равные расстояния. Наклонный участок показывает изменение вертикальной координаты, поэтому скорость тела возрастает или убывает, а движение становится неравномерным.

Ускорение находят как отношение изменения скорости к длительности участка: a = (v₂ − v₁)/(t₂ − t₁). Если линия поднимается вправо, конечная скорость больше начальной и ускорение положительно. Если линия опускается, разность скоростей отрицательна, поэтому ускорение направлено в сторону отрицательной оси.

По второму закону Ньютона равнодействующая сила связана с ускорением формулой F₍равн₎ = ma, где m — масса тела. Поэтому при известной массе достаточно найти наклон графика и умножить полученное ускорение на массу. Площадь под графиком скорости равна перемещению, потому что скорость показывает перемещение за единицу времени, а суммирование таких малых перемещений даёт всю пройденную координатную разность; при отрицательной скорости площадь учитывается со знаком.

Связь вида участка графика скорости с движением и равнодействующей силой

Сначала определите наклон выбранного участка, затем установите знак ускорения и направление равнодействующей. Если участок лежит на оси времени, одного значения скорости недостаточно: нужно изучить график слева и справа от этой точки.

Разбор задач

Задача 1

По графику скорости от времени требуется определить скорость в моменты 2 с, 5 с и 8 с. Также нужно найти участки равномерного движения. Координаты берём непосредственно с графика: горизонтальная координата задаёт время, вертикальная — скорость.

1. При t = 2 с точка находится на горизонтальном участке v = 2 м/с.
2. При t = 5 с график достигает значения v = 5 м/с.
3. При t = 8 с скорость равна v = 1 м/с; горизонтальным является участок от 0 до 2 с.

Ответ: v(2 с) = 2 м/с, v(5 с) = 5 м/с, v(8 с) = 1 м/с. Равномерное движение происходит на участке 0–2 с.

Задача 2

Тело массой 2 кг за 4 с увеличило скорость с 3 до 11 м/с. Требуется найти ускорение и модуль равнодействующей силы. Увеличение скорости означает положительный наклон графика.

1. Находим изменение скорости: Δv = 11 − 3 = 8 м/с.
2. Вычисляем ускорение: a = Δv/Δt = 8/4 = 2 м/с².
3. Применяем второй закон Ньютона: F₍равн₎ = ma = 2 · 2 = 4 Н.

Ответ: ускорение равно 2 м/с², модуль равнодействующей силы — 4 Н. Сила направлена в сторону положительной оси.

Задача 3

Масса тела равна 1000 кг. За первые 5 с скорость выросла от 0 до 10 м/с, следующие 3 с была постоянной, затем за 4 с уменьшилась до 2 м/с. Нужно найти силу на каждом участке и перемещение за всё время.

1. Первый участок: a₁ = (10 − 0)/5 = 2 м/с², поэтому F₁ = 1000 · 2 = 2000 Н.
2. Второй участок: скорость постоянна, a₂ = 0 и F₂ = 0.
3. Третий участок: a₃ = (2 − 10)/4 = −2 м/с², поэтому F₃ = −2000 Н.
4. Перемещение равно сумме площадей: S₁ = (0 + 10) · 5/2 = 25 м, S₂ = 10 · 3 = 30 м, S₃ = (10 + 2) · 4/2 = 24 м.

Ответ: F₁ = 2000 Н, F₂ = 0, F₃ = −2000 Н; перемещение за всё время равно 25 + 30 + 24 = 79 м. Знак третьей силы показывает её направление, противоположное положительной оси.

Типичные ошибки

Путают координаты осей и считывают время по вертикали или скорость по горизонтали. Это происходит, если сразу смотреть на числа, не проверив подписи осей. Сначала найдите t на горизонтальной оси, затем поднимитесь к графику и считайте v.

Считают, что наклонный график означает равномерное движение. На самом деле наклон показывает изменение скорости, поэтому такое движение неравномерное. Проверка проста: сравните значения скорости в начале и конце участка.

Используют саму скорость вместо её изменения в формуле ускорения. Причина ошибки — забывают, что ускорение характеризует изменение скорости за время. Записывайте a = (v₂ − v₁)/(t₂ − t₁) и обязательно вычитайте начальное значение.

Определяют равнодействующую как сумму модулей всех сил без учёта направлений. Так можно получить неверный результат для противоположных сил. Выберите положительное направление и складывайте силы с их знаками.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужны понятия скорости, ускорения, массы, силы и второй закон Ньютона. Тема опирается на сложение сил и выбор положительного направления оси: знак ускорения зависит от этого выбора. Графики скорости помогают рассчитывать перемещение, разбирать разгон и торможение, а также применять законы Ньютона к реальным движениям.

Что запомнить

• На графике скорости от времени время откладывают по горизонтальной оси, а скорость — по вертикальной.
• Координата точки графика показывает скорость тела в соответствующий момент времени.
• Наклон графика скорости характеризует ускорение тела.
• При постоянной скорости график является горизонтальным, а ускорение и равнодействующая равны нулю.
• Равнодействующая сила определяется по формуле F₍равн₎ = ma.
• Площадь под графиком скорости за промежуток времени равна перемещению с учётом знака скорости.
• Направление равнодействующей совпадает с направлением ускорения.