"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Если равнодействующая сил не меняется, тело движется с постоянным ускорением: за одинаковое время его скорость каждый раз изменяется на один и тот же вектор. Это позволяет находить положения тела одно за другим и определять ускорение по перемещениям. При движении не по прямой нужно учитывать направления скорости, ускорения и перемещений, а не только их длины. Такой способ полезен для анализа движения под действием постоянных сил.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнодействующая сил — векторная сумма всех сил, действующих на тело. В рассматриваемом движении она постоянна по модулю и направлению, то есть не меняется ни её величина, ни ориентация. Это позволяет связать действие всех сил на тело одним вектором и не рассматривать каждую силу отдельно.
Ускорение — векторная величина, характеризующая изменение скорости тела со временем. Если равнодействующая постоянна, то при неизменной массе постоянно и ускорение. Ускорение нужно, чтобы предсказывать, как будет меняться скорость и куда сместится тело.
Последовательные положения тела — положения, которые тело занимает через равные промежутки времени. Длительность каждого такого промежутка обозначают Δt, а моменты можно записать как 0, Δt, 2Δt и так далее. Равные интервалы позволяют сравнивать движение на одинаковых отрезках времени.
Перемещение за интервал — вектор от начального положения к конечному. Оно показывает изменение положения тела, тогда как пройденный путь равен длине участка траектории. Эти величины могут не совпадать: при движении по кривой путь обычно длиннее модуля перемещения.
По второму закону Ньютона равнодействующая Fрез связана с ускорением формулой Fрез = ma, где m — масса тела. Если сила и масса постоянны, то ускорение a = Fрез/m тоже постоянно и направлено так же, как равнодействующая. Поэтому именно постоянство силы, а не неизменность скорости, задаёт характер движения.
За время Δt изменение скорости равно Δv = a·Δt. При постоянном ускорении в каждом следующем равном интервале получается тот же вектор изменения скорости, потому что не меняются ни a, ни длительность интервала. Это рассуждение верно и для прямой, и для плоскости: во втором случае отдельно меняются составляющие скорости по координатным осям.
Пусть в начале очередного интервала скорость равна v, а перемещение за него — s. В следующем интервале начальная скорость станет v + a·Δt, поэтому дополнительный вклад в перемещение составит a·(Δt)². Следовательно, разность двух соседних перемещений равна a·(Δt)². Результат относится к векторам: при сравнении нужно учитывать не только длины, но и направления.
Если начальное положение обозначить r₀, а начальную скорость — v₀, то положение в момент t задаёт формула r = r₀ + v₀t + a·t²/2. Первое слагаемое указывает, откуда началось движение, второе описывает вклад начальной скорости, а третье — изменение положения из-за ускорения. Формула получается сложением перемещения при движении с начальной скоростью и перемещения, набираемого при постоянном ускорении.
Чтобы построить цепочку положений, сначала выбирают начальную точку и отмечают вектор скорости. Затем для каждого интервала находят перемещение и прибавляют его к предыдущему положению, соединяя полученные точки в порядке времени. Если перемещения за равные интервалы увеличиваются в направлении некоторого вектора, разность соседних перемещений указывает направление ускорения. Так можно определить его и при движении по кривой.
| Величина | Правило при постоянном ускорении | Связь с последовательными положениями |
|---|---|---|
| Изменение скорости за интервал Δt | Δv = a·Δt | Скорость меняется на одинаковый вектор в каждом интервале. |
| Перемещение за интервал Δt | s = vнач·Δt + a·(Δt)²/2 | Показывает переход от одного положения к следующему. |
| Разность соседних перемещений | s₂ − s₁ = a·(Δt)² | По ней можно определить направление и величину ускорения. |
| Положение тела в момент t | r = r₀ + v₀t + a·t²/2 | Даёт координату тела относительно начального положения. |
Сначала определите, нужны ли вам скорость, перемещение или положение: это разные величины. Для построения точек удобно находить перемещение за каждый интервал, а для ускорения — сравнивать перемещения соседних интервалов. Все действия с векторами выполняйте с учётом направлений.
Задача 1. Тело движется по прямой: начальное положение x₀ = 0 м, начальная скорость v₀ = 2 м/с, ускорение a = 1 м/с². Найдём положения через каждую секунду. Положительное направление выберем по направлению начальной скорости, поэтому все заданные величины положительны.
Мы каждый раз прибавляли новое перемещение к предыдущему положению, а не отсчитывали его от начала. Ответ: через 1, 2 и 3 секунды координаты равны 2,5 м, 6 м и 10,5 м. Увеличение перемещений на 1 м за каждую секунду согласуется с постоянным ускорением 1 м/с².
Задача 2. За три последовательных равных интервала длительностью Δt = 2 с тело переместилось на s₁ = 3 м, s₂ = 7 м и s₃ = 11 м в одном направлении. Определим ускорение. Здесь важно сравнивать именно перемещения за одинаковое время, а не координаты тела.
Поскольку все перемещения направлены одинаково, ускорение направлено туда же. Ответ: a = 1 м/с². Если бы перемещения были заданы как векторы в разных направлениях, для вычитания пришлось бы учитывать их компоненты, а не только модули.
Задача 3. Тело начинает движение из точки с координатами (0; 0) и имеет начальную скорость v₀ = (3; 0) м/с. Ускорение постоянно и равно a = (0; 2) м/с². Найдём положение через 2 с и построим несколько последовательных положений с интервалом 1 с.
Начальная скорость направлена горизонтально, а ускорение — вертикально, поэтому тело смещается сразу по двум координатам. Векторное сложение показывает, что через две секунды координаты равны x = 6 м и y = 4 м. Ответ: r = (6; 4) м; последовательные положения за 1 и 2 с — (3; 1) м и (6; 4) м.
Считать, что постоянная равнодействующая означает постоянную скорость. Так думают, смешивая причину движения с его изменением: сила создаёт ускорение. Проверьте себя по второму закону Ньютона — при ненулевой силе скорость изменяется.
Сравнивать перемещения за интервалы разной длительности. Правило о постоянной разности соседних перемещений получено для одинакового Δt, поэтому разные интервалы дают некорректное сравнение. Перед расчётом убедитесь, что длительность всех промежутков одинакова.
Путать перемещение с пройденным путём. Путь — длина траектории, а перемещение — вектор между начальной и конечной точками; при криволинейном движении они особенно заметно различаются. Нарисуйте траекторию и отдельно проведите стрелку от начала к концу.
Складывать модули векторов, не учитывая направления. Это допустимо лишь для векторов, лежащих на одной прямой и направленных одинаково; при движении в плоскости такое сложение теряет информацию. Проверяйте расчёт по компонентам: отдельно по горизонтальной и вертикальной осям.
Для работы с последовательными положениями нужны знания о векторах, скорости, ускорении и втором законе Ньютона: без них нельзя описать изменение движения. Тема развивает описание равноускоренного движения и помогает решать задачи о телах под действием постоянных сил. Движение в плоскости удобно разбирать независимо по координатным осям: проекции ускорения задают изменения скорости и положения по каждой оси. Затем полученные координаты объединяют в один вектор положения.
Почему постоянная сила не означает постоянную скорость?
Сила сообщает телу ускорение, а ускорение изменяет скорость. При постоянной равнодействующей ускорение постоянно, поэтому скорость за равные промежутки времени меняется на одинаковый вектор, но не обязана оставаться прежней.
Что считать последовательными положениями тела?
Это положения тела в моменты времени, следующие друг за другом через один и тот же промежуток Δt. Например, можно отмечать положение через каждую секунду.
Почему промежутки времени между положениями должны быть равными?
Именно для равных промежутков справедливо правило: соседние перемещения отличаются на один и тот же вектор a·(Δt)². Если промежутки разные, перемещения нельзя сравнивать этим способом напрямую.
Как по перемещениям за равные интервалы найти ускорение?
Вычтите из одного перемещения предыдущее: разность равна a·(Δt)². Разделите эту векторную разность на квадрат длительности интервала, чтобы получить ускорение.
Можно ли применять это правило, если тело движется не по прямой?
Да, правило действует и при движении в плоскости, потому что ускорение и перемещения являются векторами. Разность перемещений нужно находить с учётом направлений, например отдельно по каждой координатной оси.
4. Последовательные положения тела, на которое действует постоянная равнодействующая
