1. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Закон всемирного тяготения — сила притяжения любых двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Он позволяет рассчитывать взаимодействие предметов, планет и звёзд. Главная формула закона: F = Gm₁m₂/r².

Гравитационная сила — сила взаимного притяжения тел, направленная вдоль линии, соединяющей их центры. Она действует на каждое из двух тел одновременно. Именно эта сила удерживает спутники на орбитах и заставляет тела падать к Земле.

Гравитационная постоянная — коэффициент G, одинаковый для всех тел и характеризующий интенсивность гравитационного взаимодействия. В СИ G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Малое значение этой постоянной объясняет слабость притяжения обычных предметов.

Центр масс — точка тела или системы тел, которую используют для определения расстояния при расчёте силы тяготения. У однородного шара она совпадает с геометрическим центром. Такое упрощение позволяет заменить протяжённое тело материальной точкой.

Как это устроено

Любое тело с массой создаёт гравитационное взаимодействие, поэтому притягиваются не только тела к Земле, но и любые два предмета. Это взаимодействие взаимно: первое тело действует на второе, а второе — на первое. По третьему закону Ньютона силы равны по модулю и противоположны по направлению, хотя ускорения тел могут быть разными из-за разных масс.

Если массы тел обозначить как m₁ и m₂, расстояние между их центрами — как r, а гравитационную постоянную — как G, то закон записывается так: F = Gm₁m₂/r². Символ F обозначает модуль силы в ньютонах, массы измеряются в килограммах, а расстояние — в метрах. Формула получается непосредственной записью двух зависимостей: сила растёт с массами и убывает с расстоянием.

Произведение масс показывает, сколько вещества участвует во взаимодействии. Если увеличить массу одного тела в 3 раза, каждый участок второго тела будет притягиваться сильнее в 3 раза, поэтому и общая сила возрастёт втрое. При одновременном изменении обеих масс коэффициенты перемножаются.

Квадрат расстояния появляется потому, что гравитационное воздействие распространяется от тела во все стороны. При удалении от источника одна и та же «порция» воздействия распределяется по сферической поверхности, площадь которой пропорциональна r². Поэтому увеличение расстояния в 2 раза уменьшает силу не в 2, а в 4 раза.

Направление силы находят по прямой, соединяющей центры масс тел: каждое тело притягивается к центру другого. Материальными точками тела можно считать, если их размеры малы по сравнению с расстоянием между ними. Для однородных шаров закон также применим, если расстояние отсчитывают между их центрами; вне шара его притяжение такое же, как у точечного тела с массой, сосредоточенной в центре.

Закон всемирного тяготения и зависимости гравитационной силы

В таблице удобно отслеживать, как изменение каждой величины влияет на силу. Сначала определите, какая величина меняется, затем примените указанную пропорциональность и не забудьте про единицы СИ. Направление не изменяет модуль силы, а показывает, куда направлен вектор взаимодействия.

Разбор задач

Задача 1. Сила притяжения двух тел

Тела имеют массы 100 кг и 200 кг, расстояние между их центрами равно 2 м. Нужно найти модуль силы притяжения. Используем G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг² и проверяем, что все величины выражены в единицах СИ.

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r².
2. Вычисляем квадрат расстояния: r² = 2² = 4 м².
3. Подставляем значения: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 100 · 200 / 4 Н.
4. Сначала находим отношение произведения масс к квадрату расстояния: 100 · 200 / 4 = 5000 кг²/м².

Ответ: F ≈ 3,34 · 10⁻⁷ Н. Это очень малая сила, поэтому притяжение таких предметов в обычных условиях незаметно.

Задача 2. Изменение масс и расстояния

Массу одного тела увеличили в 3 раза, а расстояние между телами уменьшили в 2 раза. Требуется определить, во сколько раз изменится сила, не находя её начального значения. Изменения нужно рассматривать отдельно, а затем перемножить их влияние.

1. Увеличение одной массы в 3 раза увеличивает силу в 3 раза.
2. Уменьшение расстояния в 2 раза означает r₂ = r₁/2, поэтому квадрат расстояния уменьшается в 4 раза.
3. Поскольку сила обратно пропорциональна r², уменьшение знаменателя в 4 раза увеличивает силу в 4 раза.
4. Общий коэффициент равен 3 · 4 = 12.

Ответ: сила тяготения увеличится в 12 раз. Такой способ удобен, когда абсолютные значения масс и расстояния неизвестны.

Задача 3. Масса планеты

Известны радиус планеты R и ускорение свободного падения g у её поверхности; гравитационная постоянная равна G. Нужно выразить массу планеты M. Тело массой m у поверхности планеты притягивается к ней, поэтому силу тяготения приравниваем к силе тяжести.

1. Сила тяготения у поверхности: F = GMm/R².
2. Сила тяжести: F = mg.
3. Приравниваем выражения: GMm/R² = mg.
4. Сокращаем m и умножаем обе части на R²/G: M = gR²/G.

Ответ: масса планеты определяется формулой M = gR²/G. Чем больше радиус при том же g, тем больше должна быть масса планеты.

Типичные ошибки

Первая ошибка — брать расстояние между ближайшими точками тел, а не между их центрами масс. Так поступают, потому что именно расстояние между поверхностями легко увидеть в условии. Проверьте, можно ли считать тела точками или шарами, и отсчитывайте r между центрами.

Вторая ошибка — записывать F = Gm₁m₂/r без квадрата расстояния. Обычно забывают степень, когда механически переписывают формулу. Проверьте зависимость на простом примере: при увеличении r в 2 раза сила должна уменьшиться в 4 раза.

Третья ошибка — считать, что тела притягиваются только к Земле. Закон относится к любым двум телам, хотя земное притяжение чаще всего заметно в быту. Назовите оба тела и убедитесь, что сила действует на каждое из них.

Четвёртая ошибка — неверно направлять силу или считать силы действия и противодействия одной силой. Силы приложены к разным телам, лежат на одной прямой и направлены навстречу. Для проверки отдельно нарисуйте силы на каждом теле.

Связь с другими темами

• Для решения задач нужны второй закон Ньютона, понятия массы и силы тяжести, а также умение переводить величины в единицы СИ.
• Закон используется при изучении движения спутников, планет и искусственных космических аппаратов: именно гравитация задаёт их орбиты.
• Он объясняет ускорение свободного падения, орбитальное движение и приливные явления, возникающие из-за неодинакового притяжения разных частей тела.

Что запомнить

• F = Gm₁m₂/r².
• Гравитационная сила направлена вдоль линии, соединяющей центры тел.
• Сила тяготения прямо пропорциональна каждой из масс.
• При увеличении расстояния в 2 раза сила уменьшается в 4 раза.
• G — универсальная гравитационная постоянная.
• Силы притяжения двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.
• Для сферически симметричных тел расстояние берут между их центрами.