1. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Закон всемирного тяготения утверждает: любые два тела притягиваются друг к другу, причём сила зависит от масс тел и расстояния между ними. Чем больше массы, тем сильнее притяжение; чем дальше тела, тем оно слабее. Закон нужен, чтобы рассчитывать взаимодействие планет, спутников и обычных предметов.

Сила всемирного тяготения — это сила взаимного притяжения тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры. Она приложена к каждому из взаимодействующих тел и меняет его движение. Это понятие помогает не смешивать притяжение с силами, возникающими при контакте тел.

Гравитационная постоянная обозначается буквой G и связывает значения масс и расстояния с величиной силы в формуле. Её значение G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Постоянная одинакова для любых тел, а её единица нужна, чтобы при подстановке килограммов и метров получить силу в ньютонах.

Расстояние между телами в законе — это расстояние между их центрами, а не между ближайшими поверхностями. Такой выбор соответствует модели точечных тел и позволяет применять одну формулу к телам разного размера. Для шаров расстояние от поверхности до поверхности нужно дополнить радиусами обоих шаров.

Как это устроено

Закон записывают формулой F = Gm₁m₂/r². Здесь F — сила тяготения в ньютонах, m₁ и m₂ — массы в килограммах, r — расстояние между центрами в метрах, а G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Единицы согласованы так, чтобы после подстановки величин в СИ результатом была сила.

Произведение m₁m₂ стоит в числителе, поэтому сила прямо пропорциональна каждой из масс. Если увеличить массу первого тела в несколько раз, произведение масс и сила возрастут во столько же раз; то же верно для второго тела. Это происходит потому, что более массивное тело создаёт более сильное гравитационное взаимодействие.

Расстояние r находится в знаменателе и возводится в квадрат, поэтому увеличение расстояния ослабляет притяжение особенно быстро. Если расстояние увеличить в n раз, знаменатель возрастёт в n² раз, а сила уменьшится в n² раз. Например, при удвоении расстояния сила становится в четыре раза меньше.

Притяжение всегда взаимно: первое тело действует на второе, а второе — на первое. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны, поэтому в формуле для обоих тел получается одна величина F. Разные массы не означают, что одно тело получает большую силу; различаться могут ускорения, потому что они зависят также от массы тела.

Реальное тело можно считать материальной точкой, если его размеры малы по сравнению с расстоянием до другого тела и важна только общая сила притяжения. Для однородных шарообразных тел формула тоже применима: их притяжение рассчитывают так, как если бы массы находились в центрах шаров. Поэтому в таком случае берут расстояние между центрами, а не между поверхностями.

Величины и зависимости в законе всемирного тяготения

Для расчёта найди в таблице массы, расстояние и постоянную, затем подставь их в формулу F = Gm₁m₂/r². Проверь, что все исходные значения выражены в СИ. Строки о зависимостях помогают быстро понять, как изменится сила, если изменить одну из величин.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м. Найдите силу их притяжения. Массы и расстояние уже выражены в единицах СИ, поэтому можно сразу подставлять данные в закон. Важно учитывать, что расстояние в знаменателе нужно возвести в квадрат.

1. Запишем данные: m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг, r = 1 м, G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
2. Подставим значения: F = 6,67·10⁻¹¹·2·3/1² Н.
3. Вычислим произведение: F = 4,002·10⁻¹⁰ Н. Получилась очень малая сила, поэтому притяжение обычных предметов заметить трудно.

Ответ: 4,002·10⁻¹⁰ Н.

Задача 2. Как изменится сила притяжения, если массу одного тела увеличить в 3 раза, а расстояние между телами — в 2 раза? Здесь можно не подставлять конкретные массы: нужно сравнить новую силу с исходной. Изменения массы и расстояния влияют на формулу независимо друг от друга.

1. Увеличение одной массы в 3 раза увеличивает силу в 3 раза.
2. Удвоение расстояния увеличивает r² в 2² = 4 раза, поэтому сила уменьшается в 4 раза.
3. Перемножим оба изменения: новая сила равна исходной, умноженной на 3/4. Значит, она составляет 0,75 от первоначальной.

Ответ: сила уменьшится в 4/3 раза, то есть станет равна 3/4 исходной.

Задача 3. Найдите силу притяжения между Землёй и телом массой 10 кг у поверхности Земли. Для шарообразной Земли можно использовать расстояние между центрами, равное радиусу Земли; тело у поверхности учитываем как небольшое по сравнению с планетой. Возьмём массу Земли M = 5,97·10²⁴ кг и радиус R = 6,37·10⁶ м. Такие данные уже выражены в единицах СИ.

1. Запишем данные: m = 10 кг, M = 5,97·10²⁴ кг, r = R = 6,37·10⁶ м.
2. Подставим их в формулу: F = GmM/R² = 6,67·10⁻¹¹·10·5,97·10²⁴/(6,37·10⁶)² Н.
3. Вычислим: F ≈ 98 Н. Проверка порядка величины показывает, что сила близка к весу тела массой 10 кг у поверхности Земли.

Ответ: примерно 98 Н.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить расстояние между поверхностями вместо расстояния между центрами. Так делают, потому что расстояние между краями предметов проще представить, но формула требует расстояния между центрами масс. Для двух шаров проверь, что к промежутку между поверхностями прибавлены оба радиуса.

Вторая ошибка — забыть квадрат у расстояния. Тогда сила будет изменяться не так, как предписывает закон, и при удвоении r получится неверное уменьшение в два раза вместо четырёх. Перед вычислением проверь, что знаменатель записан как r² и именно он меняется в квадрате.

Третья ошибка — считать, что более массивное тело притягивает менее массивное сильнее, чем само притягивается. Такое впечатление возникает из-за того, что массивное тело обычно труднее заметно сдвинуть. Сравни силы, действующие на оба тела: по третьему закону Ньютона они равны по модулю и противоположны по направлению.

Четвёртая ошибка — подставить массу в граммах или расстояние в километрах, не переводя их в СИ. В этом случае числа не соответствуют единицам, для которых задана G, и результат окажется неправильным. Перед расчётом запиши массы в килограммах, расстояние в метрах, а затем проверь единицы искомой силы.

Связь с другими темами

Для работы с законом нужны понятия силы и массы, а также модель материальной точки: она позволяет не учитывать размеры тела, когда ими можно пренебречь. Нужно уметь сравнивать величины, которые прямо или обратно пропорциональны, и переводить единицы в СИ. Это помогает не только подставлять числа, но и заранее оценивать, как изменится результат.

Закон всемирного тяготения дополняет законы Ньютона: он задаёт силу, которая может менять движение тел. Под действием гравитации движутся планеты и спутники, а рядом с Землёй падают тела. Поэтому закон связывает взаимодействие тел с наблюдаемыми движениями в космосе и около поверхности планеты.

Что запомнить

• Любые тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу.
• Сила тяготения пропорциональна произведению масс тел.
• Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Силы, с которыми тела притягивают друг друга, равны по модулю и противоположны по направлению.
• Для точечных тел и сферически симметричных тел закон записывают как F = Gm₁m₂/r².
• Гравитационная постоянная G одинакова для всех тел и взаимодействий.