3. Сила натяжения троса

Определения и обозначения

Сила натяжения троса — сила, с которой натянутый трос действует на прикреплённое к нему тело. Обычно её обозначают T и изображают вдоль троса от тела. Это определение помогает понять, какую именно силу нужно включить в уравнение движения выбранного тела.

Невесомый трос — идеализированный трос, массой которого пренебрегают. В модели его вес не приходится учитывать при составлении уравнений для частей системы. Такое допущение позволяет рассматривать передачу натяжения без распределения веса самого троса.

Нерастяжимый трос — трос, длина которого при движении тел не меняется. Поэтому перемещение одного связанного тела ограничивает перемещение другого, а в простой системе модули их ускорений одинаковы. Это условие нужно, чтобы связать уравнения движения разных тел.

Идеальный трос одновременно считают невесомым и нерастяжимым. Это не утверждение о настоящем тросе, а удобная модель для решения задач. Она позволяет не учитывать массу и растяжение троса, а сосредоточиться на силах и движении тел.

Как это устроено

Трос действует на тело только тогда, когда натянут, потому что гибкий трос передаёт усилие вдоль своей длины. При провисании он не создаёт тяги, а при попытке сжать его он складывается, а не толкает тело. Поэтому в расчёте силу со стороны троса добавляют лишь там, где трос действительно натянут.

На схеме силу натяжения рисуют приложенной к телу в месте крепления и направляют вдоль троса от тела. Причина такого направления в том, что трос тянет прикреплённый предмет к себе, а сила, действующая на предмет со стороны троса, направлена по линии троса. Если трос наклонён, вектор тоже наклонён; при необходимости его можно разложить на составляющие по осям.

Если массой троса пренебрегают, для его участков не требуется отдельно учитывать силы, связанные с ускорением массы троса. В идеальной модели натяжение передаётся по длине без изменения, поэтому на концах простого невесомого троса оно одинаково. Это равенство нельзя автоматически переносить на трос с заметной массой или систему с неидеальным блоком.

Постоянная длина нерастяжимого троса накладывает геометрическое ограничение на положения связанных тел. Когда одно тело смещается вдоль троса, длина соответствующего участка меняется, и другой участок должен измениться так, чтобы общая длина осталась прежней. Поэтому движения тел связаны, а направления ускорений определяют по тому, как устроено соединение; в простой системе их модули равны.

Натяжение нельзя заранее принимать равным весу: сначала нужно понять, какие силы действуют на тело и есть ли ускорение. При равновесии сумма сил равна нулю, а при движении используют второй закон Ньютона: равнодействующая сил равна ma. Уравнение составляют отдельно для каждого тела, выбирая удобное положительное направление.

Сила натяжения троса в задачах

Сначала определите тело, для которого составляете уравнение, и отметьте на нём все действующие силы. Затем проверьте, натянут ли трос и допустима ли идеальная модель. Таблица помогает не перепутать направление силы и способ нахождения её значения.

Разбор задач

Груз на вертикальном тросе

Условие. Груз массой 2 кг висит неподвижно на вертикальном тросе. Найдите силу натяжения, если g = 10 Н/кг. Поскольку груз покоится, его ускорение равно нулю.

1. Выберем груз как тело для рассмотрения и отметим силы: тяжесть mg направлена вниз, натяжение T — вверх вдоль троса.
2. Покой означает равновесие, поэтому силы противоположны и равны по модулю: T − mg = 0.
3. Подставим значения: T = mg = 2 кг · 10 Н/кг = 20 Н. Результат согласуется с равновесием: натяжение компенсирует силу тяжести.

Ответ: T = 20 Н.

Тележка на горизонтальной поверхности

Условие. Тележку массой 3 кг тянут по горизонтальной поверхности невесомым тросом с силой 6 Н, трением пренебрегают. Найдите ускорение тележки и натяжение троса. В этой задаче сила 6 Н — приложенная к тросу тяга; для идеального троса она передаётся тележке.

1. Выберем направление тяги за положительное. По горизонтали на тележку действуют натяжение T вперёд и уравновешивающие друг друга сила тяжести и реакция поверхности по вертикали.
2. Для невесомого троса в данной модели T = 6 Н. По второму закону Ньютона вдоль движения T = ma, значит, a = T/m.
3. Вычислим: a = 6 Н / 3 кг = 2 м/с². Вертикальные силы не влияют на ускорение вдоль поверхности.

Ответ: a = 2 м/с², T = 6 Н.

Два груза через идеальный блок

Условие. Грузы массами 2 кг и 3 кг соединены невесомым нерастяжимым тросом через идеальный блок. Найдите ускорение грузов и натяжение, если g = 10 Н/кг. Более тяжёлый груз массой 3 кг движется вниз, а груз массой 2 кг — вверх.

1. Обозначим T натяжение, а a общий по модулю модуль ускорения. Для груза 3 кг выберем вниз за положительное: 3g − T = 3a.
2. Для груза 2 кг положительное направление выберем вверх: T − 2g = 2a. Натяжение одинаково на концах идеального троса, а модули ускорений одинаковы из-за неизменной длины.
3. Сложим уравнения: (3 − 2)g = 5a, поэтому a = 10/5 = 2 м/с². Подставим во второе уравнение: T = 2g + 2a = 20 + 4 = 24 Н.

Ответ: ускорение грузов по модулю 2 м/с²; натяжение троса 24 Н.

Типичные ошибки

Путают, на кого действует натяжение. Иногда силу считают действующей на сам трос, хотя в уравнении тела нужна сила со стороны троса на это тело. Путаница возникает, если не выбран объект рассмотрения. Проверьте себя: нарисуйте отдельную схему сил для каждого тела и приложите T к точке крепления.

Считают, что трос может толкать. Такое представление переносят на трос свойства твёрдого стержня, который может сопротивляться сжатию. Но гибкий трос при сжатии провисает, поэтому тягу он передаёт только в натянутом состоянии. Если в решении трос должен толкать тело, проверьте направление движения и устройство связи.

Всегда приравнивают натяжение к весу. Это делают, потому что при покое вертикального груза T = mg, но это равенство следует из равновесия, а не из определения натяжения. При ускорении равнодействующая не равна нулю, и натяжение может отличаться от mg. Проверьте ускорение и запишите второй закон Ньютона, прежде чем подставлять вес.

Считают натяжение одинаковым в любом тросе и блоке. Равенство на концах относится к идеальной модели невесомого троса и идеального блока, а не ко всем реальным системам. Эту ошибку допускают, забывая условия задачи. Перед использованием равенства T отметьте, какие свойства троса и блока заданы.

Связь с другими темами

Чтобы находить натяжение, нужно уметь изображать силы на чертеже, отличать силу тяжести от веса и применять второй закон Ньютона. Эти навыки помогают выбрать тело, определить направления сил и составить уравнение без лишних величин. Сама сила натяжения часто встречается в задачах о связанных телах, грузах на блоках и равновесии конструкций. В таких системах уравнение для каждого тела дополняют условием связи, заданным тросом.

Что запомнить

• Натянутый трос тянет тело вдоль своей оси.
• Трос не может толкать тело.
• Силу натяжения рассматривают как силу, действующую на тело со стороны троса.
• Натяжение не всегда равно весу тела.
• Невесомость и нерастяжимость троса — допущения модели.
• Значение натяжения находят из условий равновесия или второго закона Ньютона.