3. Работа переменной силы

Определения и обозначения

Переменная сила — сила, модуль или направление которой меняется при движении тела. Например, сила может постепенно возрастать, уменьшаться или менять направление. Для неё нельзя сразу применять формулу A = Fs с одним значением F, потому что на разных участках пути сила различна.

Работа переменной силы — работа силы на участке пути, где её значение изменяется. Её определяют по тому, как сила меняется вдоль перемещения, а не только по начальному или конечному значению. Обозначают работу буквой A, путь — s, силу — F.

График зависимости силы от пути показывает, какое значение имеет сила при каждом пройденном пути. Обычно по горизонтальной оси откладывают s в метрах, а по вертикальной — F в ньютонах. Такой график позволяет увидеть изменение силы и определить её работу.

Площадь под графиком силы — геометрическая площадь между графиком F(s) и осью пути на выбранном участке. Если сила направлена вдоль перемещения, эта площадь численно равна работе. Поэтому для вычисления работы достаточно распознать фигуру под графиком и найти её площадь.

Как это устроено

Если сила меняется во время движения, весь путь делят на малые отрезки. На каждом таком отрезке изменение силы невелико, поэтому её можно считать почти постоянной и вычислить работу по формуле A = Fs. Затем работы всех отрезков складывают, потому что общее действие силы складывается из её действия на отдельных частях пути.

На графике F(s) каждому малому отрезку пути соответствует узкий прямоугольник: его ширина равна длине отрезка, а высота — силе на нём. Площадь прямоугольника равна произведению F на s, то есть работе на этом участке. Сумма площадей всех прямоугольников даёт площадь под графиком и общую работу силы.

При линейном изменении силы график является прямой, поэтому область под ним имеет простую геометрическую форму. Если сила постоянна, получается прямоугольник; если возрастает от нуля — треугольник; если меняется между двумя ненулевыми значениями — трапеция. Благодаря этому работу можно найти обычными формулами площадей, не деля путь на множество отрезков.

Например, если сила возрастает от нуля до значения F на пути s, под графиком образуется треугольник с основанием s и высотой F. Его площадь равна A = Fs/2. При вычислении нужно также определить направление силы: график модуля показывает размер площади, но не сообщает, будет работа положительной или отрицательной.

Как находить работу по графику силы

Сначала определите, что отложено по каждой оси, и выберите нужный участок пути. Затем установите вид фигуры под графиком и подставьте её размеры в формулу площади. В конце проверьте единицы: ньютон, умноженный на метр, даёт джоуль.

Разбор задач

Задача 1

На пути 3 м сила постоянна и равна 4 Н. Найдём работу силы через площадь под графиком.

1. При постоянной силе график F(s) — горизонтальный отрезок, поэтому под ним находится прямоугольник.
2. Его высота F = 4 Н, а основание s = 3 м.
3. Вычислим площадь: A = Fs = 4 · 3 = 12 Дж.

Ответ: работа силы равна 12 Дж. Этот пример показывает, что формула постоянной силы является частным случаем метода площади.

Задача 2

Сила возрастает от 0 до 6 Н пропорционально пути на участке 2 м. Требуется найти работу.

1. Пропорциональный рост означает, что график силы — прямая от начала координат до точки с координатами s = 2 м и F = 6 Н.
2. Под этой прямой образуется треугольник с основанием 2 м и высотой 6 Н.
3. Его площадь равна A = Fs/2 = 6 · 2/2 = 6 Дж.

Ответ: работа равна 6 Дж. Деление на два появляется потому, что средняя сила на этом участке равна не 6 Н, а 3 Н.

Задача 3

На участке 4 м сила линейно возрастает от 2 до 8 Н. Найдём работу и объясним её определение по графику.

1. График — наклонный отрезок, а область под ним имеет форму трапеции с основаниями 2 Н и 8 Н.
2. Средняя высота трапеции равна (F₁ + F₂)/2 = (2 + 8)/2 = 5 Н.
3. Умножим её на основание s: A = (F₁ + F₂)s/2 = 10 · 4/2 = 20 Дж.

Ответ: работа силы равна 20 Дж. Единица результата — джоуль, поскольку Н · м = Дж.

Типичные ошибки

Подставлять конечное значение силы в A = Fs — значит считать, будто сила весь путь была такой же. Так ошибаются, потому что конечное значение заметнее остальных. Проверьте себя: сравните силу в начале и конце пути; если они различаются, нужна площадь под графиком.

Иногда площадь сложной области принимают за произведение высоты на основание. Это верно только для прямоугольника, поэтому у треугольника появляется множитель ½, а у трапеции нужно сложить основания. Сначала назовите фигуру под графиком, а потом выбирайте формулу.

Можно перепутать оси графика и отложить силу по горизонтали, а путь по вертикали. Для работы нужен именно график F(s): ширина области должна измеряться в метрах, а высота — в ньютонах. Проверьте подписи осей и единицы результата.

Площадь под графиком модуля силы всегда выглядит положительной, но работа может быть отрицательной. Ошибка возникает, если не учитывать направление силы относительно движения. Спросите себя, направлена ли сила по перемещению или против него.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать формулу работы постоянной силы A = Fs, единицу работы — джоуль — и уметь находить площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Эти знания объясняют, почему графический способ даёт правильный результат.

Метод пригодится при изучении работы силы упругости и энергии деформированной пружины. Он также помогает анализировать графики движения и связывать форму графика с физическим результатом.

Что запомнить

• Для переменной силы работа зависит от того, как сила меняется вдоль пути.
• Работа по графику F(s) равна площади под графиком на рассматриваемом участке.
• При постоянной силе площадь под графиком — прямоугольник, и A = Fs.
• При линейном росте силы от нуля площадь — треугольник, и A = Fs/2.
• При линейном изменении силы между F₁ и F₂ площадь — трапеция, и A = (F₁ + F₂)s/2.
• Площадь под графиком модуля силы не определяет знак работы без учёта направления силы.