"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Длину, площадь, объём и угол измеряют, сравнивая их с выбранной единицей. Поэтому одно и то же расстояние можно записать в метрах или сантиметрах, а числовые значения будут разными. Чтобы измерять правильно, нужно знать единицы и правила перевода между ними. Площади и объёмы составных фигур и тел находят по частям, а углы сравнивают с градусом — долей развёрнутого угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — положительное число, показывающее, сколько раз выбранная единица длины укладывается в отрезке. Например, при единице 1 см отрезок длиной 5 см содержит пять таких единиц. Это определение помогает сравнивать отрезки и записывать их длины числами.
Площадь фигуры — число, показывающее, сколько единичных квадратов содержится в фигуре. Единичный квадрат — квадрат со стороной, принятой за единицу длины; его площадь записывают, например, как 1 см². Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры плоских фигур и вычислять, сколько места они занимают.
Объём тела — число, показывающее, сколько единичных кубов помещается в теле. Если ребро куба выбрано за 1 см, его объём равен 1 см³. Объём позволяет сравнивать вместимость и размеры тел, а также находить общий объём составной фигуры.
Градусная мера угла — число, показывающее, какую часть полного угла составляет данный угол, если полный угол разделён на 360 равных частей. Каждая такая часть равна одному градусу и обозначается знаком °. Эта мера позволяет сравнивать углы и точно задавать их величину.
Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единичный отрезок, например 1 см, а затем сравнивают с ним длину данного отрезка. Результат получается делением длины отрезка на длину единицы, поэтому он зависит от выбора единицы. Если тот же отрезок измерить миллиметрами, единиц уложится больше, а числовое значение станет другим. Сам отрезок при этом не изменится.
Для измерения площади берут квадрат с заданной стороной и считают, сколько таких единичных квадратов покрывает фигуру. Если фигура разделена на части, можно измерить каждую отдельно и сложить результаты. Это работает потому, что площадь всей фигуры складывается из площадей её частей, когда они не перекрываются и полностью её составляют. При подсчёте нельзя оставлять промежутки или считать одну область дважды.
Объём измеряют единичными кубами: представляют тело заполненным такими кубами и определяют, сколько их нужно. Для составного тела объём каждой части можно найти отдельно, а затем сложить. Причина та же, что и при сложении площадей: части занимают разные места и вместе образуют всё тело. Если части наложены друг на друга, возникнет повторный счёт, поэтому такое сложение даст неверный результат.
Угол измеряют, сравнивая его с единичным углом. Градус получают, если развёрнутый угол разделить на 180 равных частей, поэтому в развёрнутом угле 180°, а в полном — 360°. Для более точной записи градус делят на 60 минут: 1° = 60′. Значит, минуты являются долями градуса, а не сотыми его частями.
При переходе к другой единице числовое значение измерения меняется. В длине каждая следующая единица обычно отличается от соседней в 10 раз, а при переводе через несколько разрядов используют 100 или 1000. Квадратная единица состоит из двух измерений длины, поэтому коэффициент пересчёта возводят в квадрат; кубическая — из трёх, поэтому его возводят в третью степень. Например, 1 м² = 100² см² = 10 000 см², а 1 м³ = 100³ см³.
| Величина | Единица измерения | Примеры единиц | Как связаны соседние единицы |
|---|---|---|---|
| Длина отрезка | Единица длины | мм, см, дм, м, км | В метрической системе переход к соседней меньшей единице обычно умножает значение на 10 |
| Площадь фигуры | Квадратная единица | мм², см², дм², м² | Для соседних единиц коэффициент пересчёта равен 100 |
| Объём тела | Кубическая единица | мм³, см³, дм³, м³ | Для соседних единиц коэффициент пересчёта равен 1000 |
| Градусная мера угла | Градус | градус (°), минута (′), секунда (″) | 1° = 60′, 1′ = 60″ |
Сначала найдите строку с нужной величиной, затем выберите единицы, в которых дано значение и в которых требуется ответ. Для длин, площадей и объёмов проверьте, сколько раз нужно перейти между разрядами, и учтите соответствующий коэффициент. Углы переводят между градусами и минутами по соотношению 1° = 60′.
Задача. Выразите 3 м 25 см в сантиметрах. Нужно получить одно значение в сантиметрах, поэтому сначала переведём в эту единицу метры, а затем прибавим оставшиеся сантиметры. При переводе к меньшей единице числовое значение увеличивается.
Ответ: 325 см.
Задача. Прямоугольник разбит на два прямоугольника площадями 12 см² и 15 см². Найдите площадь исходной фигуры. Части вместе составляют прямоугольник и не перекрываются, значит можно применить сложение площадей. Единицы у обеих частей одинаковые, поэтому перевод перед сложением не нужен.
Ответ: 27 см².
Задача. Развёрнутый угол разделён лучом на два угла. Один из них равен 68°. Найдите градусную меру второго угла и выразите её в минутах. Развёрнутый угол равен 180°, а два получившихся угла составляют его целиком. Сначала найдём недостающую часть, а затем переведём её в минуты.
Ответ: 112°, или 6720′.
Иногда считают, что число, которым записана длина, не зависит от единицы измерения. Ошибка возникает, когда забывают, что это число показывает количество выбранных единиц: в сантиметрах их больше, чем в метрах. Чтобы проверить себя, запишите соотношение единиц и проверьте, что при переходе к меньшей единице число увеличивается, а сама длина остаётся той же.
При переводе квадратных единиц можно ошибочно умножить только на 100: например, принять 1 м² за 100 см². Так происходит, если воспринимать площадь как обычную длину, хотя квадратный метр содержит квадраты со сторонами по 100 см. Проверьте пересчёт, возведя коэффициент 100 в квадрат: 1 м² = 100² см² = 10 000 см².
Площади или объёмы частей не всегда можно просто сложить. Ошибка появляется, если части перекрываются или не составляют всю исходную фигуру: тогда при сложении что-то учитывается дважды либо пропускается. Перед вычислением проверьте, что части неперекрывающиеся и вместе дают всё целое; для площадей сравните единицы измерения.
Градусы иногда путают с минутами и записывают, что в градусе 100 минут. Такая ошибка возникает из-за привычки к десятичной системе, но для углов используется соотношение 1° = 60′. Проверить перевод можно обратным действием: число минут разделить на 60, а остаток прочитать как долю градуса.
До изучения измерений полезно вспомнить единицы длины и правила перевода между метрами, сантиметрами и миллиметрами: на них основаны вычисления с площадями и объёмами. Длина отрезка и градусная мера угла понадобятся при работе с треугольниками и многоугольниками, например при сравнении их сторон и углов. Знание единиц площади и объёма пригодится, когда вы начнёте применять формулы для вычисления площадей фигур и объёмов тел.
Почему длина одного и того же отрезка может иметь разные числовые значения?
Число показывает, сколько раз выбранная единица укладывается в отрезке. В одном метре 100 сантиметров, поэтому длина 2 м равна 200 см. Сам отрезок не меняется — меняется единица измерения.
Почему при переводе квадратных единиц число меняется сильнее, чем при переводе единиц длины?
Квадратная единица измеряет площадь, поэтому коэффициент пересчёта длины учитывается дважды: для сторон квадрата. Например, 1 м = 100 см, значит 1 м² = 100 × 100 = 10 000 см². Для кубических единиц коэффициент учитывается трижды.
Как найти площадь фигуры, если она составлена из нескольких частей?
Разбейте фигуру на части, площади которых можно найти или которые уже известны. Если части не перекрываются и вместе составляют всю фигуру, сложите их площади. Перед сложением проверьте, что все значения выражены в одинаковых единицах.
Чем градусная мера угла отличается от его величины в минутах?
Градусы и минуты — две единицы измерения углов, причём 1° = 60′. Например, 2° — это 120′. Угол остаётся тем же, но его числовая запись зависит от выбранной единицы.
Почему объём составного тела можно найти сложением объёмов частей?
Если тело разбито на части, которые не накладываются друг на друга и вместе заполняют всё тело, объём каждой части занимает своё место. Поэтому общий объём равен сумме объёмов частей. Если части перекрываются, их объёмы нельзя просто сложить.
§ 38. Измерение длин, площадей, объемов, углов
