"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы по тем данным, которые уже известны. Для этого используют сумму углов треугольника, теоремы синусов и косинусов. Выбор способа зависит от исходных элементов: например, угла между двумя известными сторонами или пары «сторона и противоположный угол». Умение решать треугольники помогает находить расстояния и углы в геометрических задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Решить треугольник — значит найти его неизвестные стороны и углы по заданным элементам. Элементами треугольника называют его стороны и углы. Например, если известны два угла и сторона, можно определить остальные величины и получить полное описание треугольника. Такое описание помогает затем использовать треугольник в геометрических задачах.
Обычно вершины треугольника обозначают заглавными буквами A, B, C, а противолежащие стороны — строчными a, b, c. Значит, сторона a находится напротив угла A, сторона b — напротив B, сторона c — напротив C. Это соответствие нужно соблюдать при подстановке в формулы: иначе сторона окажется связана не с тем углом.
Теорема синусов утверждает, что отношения каждой стороны треугольника к синусу противоположного угла равны: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Синус угла — число, которое можно найти с помощью таблицы или калькулятора. Теорема особенно удобна, когда известна хотя бы одна пара «сторона и противоположный угол»: тогда можно составить равенство и найти другую сторону или угол.
Теорема косинусов говорит, что квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Например, a² = b² + c² − 2bc · cos A. Она нужна, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны; косинус угла можно найти по известным сторонам.
Сумма углов любого треугольника равна 180°. Поэтому, если известны два угла, третий уже не может быть произвольным: он равен 180° минус сумма известных углов. Это следует из свойства треугольника и позволяет сначала найти недостающий угол, прежде чем использовать другие формулы. Например, при углах 50° и 60° третий угол равен 70°.
Когда даны сторона и два угла, сначала находят третий угол по сумме 180°. После этого известны углы, и можно применить теорему синусов: отношение известной стороны к синусу противоположного угла равно соответствующему отношению для неизвестной стороны. Так вычисляют одну сторону, а затем при необходимости — другую. Важно каждый раз выбирать синус угла, который лежит напротив нужной стороны.
Если известны две стороны и угол между ними, теорема синусов обычно не даёт сразу нужной информации: соответствующая противоположная пара может быть неизвестна. В теореме косинусов известные стороны и угол между ними входят в одну формулу, поэтому сначала находят квадрат третьей стороны, а потом извлекают корень. Получив третью сторону, можно найти углы по теореме косинусов или использовать теорему синусов, если известна подходящая пара «сторона и противоположный угол».
Если известны все три стороны, но не углы, теорема косинусов помогает выразить косинус одного угла через стороны. Например, из a² = b² + c² − 2bc · cos A получаем cos A = (b² + c² − a²)/(2bc). Затем по этому значению находят угол A, а остальные углы вычисляют таким же способом или находят один из них и используют сумму 180°. Такой подход не требует заранее знать ни одного угла.
Выбор теоремы зависит не от того, какая формула кажется короче, а от известных элементов и искомой величины. Сначала отметь, есть ли среди данных сторона и противоположный ей угол, и проверь, задан ли угол именно между известными сторонами. Затем подбери формулу, в которой известные данные уже стоят на нужных местах. Это помогает не подставить, например, угол при одной вершине вместо угла между двумя сторонами.
| Известные элементы | Первый шаг | Основной приём |
|---|---|---|
| Два угла и сторона | Найти третий угол по сумме углов треугольника | Теорема синусов |
| Две стороны и угол между ними | Найти третью сторону | Теорема косинусов |
| Три стороны | Найти один из углов | Теорема косинусов |
| Сторона и два угла | Найти третий угол | Теорема синусов для неизвестных сторон |
Найди в таблице строку, которая соответствует данным задачи, и выполни первый шаг. Затем используй указанный основной приём, сохраняя соответствие между сторонами и противоположными углами. Если после этого остаются неизвестные элементы, продолжай вычисления с найденными величинами.
В треугольнике ABC даны ∠A = 50°, ∠B = 60° и сторона a = 10. Нужно найти ∠C, b и c. Известная сторона a лежит напротив угла A, поэтому эту пару будем использовать в теореме синусов. Сначала найдём третий угол.
По сумме углов треугольника ∠C = 180° − 50° − 60° = 70°. Теперь известны все три угла.
Для стороны b запишем отношение b/sin 60° = 10/sin 50°. Тогда b = 10 · sin 60°/sin 50° ≈ 11,3.
Для стороны c используем угол C, противоположный этой стороне: c/sin 70° = 10/sin 50°. Получаем c = 10 · sin 70°/sin 50° ≈ 12,3.
Ответ: ∠C = 70°, b ≈ 11,3, c ≈ 12,3. Округлённые значения сторон приблизительные, поэтому небольшое несовпадение при проверке может быть связано с округлением. При вычислениях важно было сопоставить b с углом B, а c — с углом C.
Даны b = 7, c = 9 и ∠A = 60°, причём угол A расположен между сторонами b и c. Требуется найти a — сторону напротив этого угла. Теорема косинусов подходит, потому что известны обе стороны, входящие в формулу, и угол между ними. Применим её сразу к стороне a.
Запишем формулу: a² = b² + c² − 2bc · cos A. Подставим данные: a² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 60°.
Так как cos 60° = ½, получаем a² = 49 + 81 − 126 · ½ = 130 − 63 = 67. Здесь 67 — квадрат искомой стороны, а не сама сторона.
Извлечём квадратный корень: a = √67 ≈ 8,2. Берём положительный корень, потому что длина стороны треугольника положительна.
Ответ: a = √67, или приблизительно 8,2. Найденная сторона меньше суммы двух остальных: 8,2 меньше 7 + 9. Это простая проверка того, что ответ не противоречит основному свойству сторон треугольника.
Даны a = 5, b = 6 и c = 8; нужно найти углы A, B и C. Ни одного угла пока нет, поэтому начнём с теоремы косинусов и выразим косинус угла через три известные стороны. Затем тем же способом найдём два других угла. Для проверки сложим полученные значения.
Для угла A: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (36 + 64 − 25)/(2 · 6 · 8) = 75/96 = 25/32. Значит, A ≈ 38,6°.
Для угла B: cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (25 + 64 − 36)/(2 · 5 · 8) = 53/80. Поэтому B ≈ 48,5°.
Для угла C: cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) = (25 + 36 − 64)/(2 · 5 · 6) = −3/60 = −0,05. Следовательно, C ≈ 92,9°.
Ответ: A ≈ 38,6°, B ≈ 48,5°, C ≈ 92,9°. В сумме получается примерно 180°, потому что значения округлены до десятых долей градуса. Отрицательный косинус угла C здесь допустим: он соответствует углу, который больше 90°.
В теореме синусов иногда сопоставляют сторону не с тем углом, например записывают a/sin B. Такая ошибка возникает, когда буквы воспринимают как произвольные обозначения и забывают о противоположных элементах. Перед вычислением отметь пары a и A, b и B, c и C. Проверь, что в каждой дроби сторона стоит рядом с синусом угла напротив неё.
В теореме косинусов могут подставить угол, который не лежит между двумя известными сторонами. Часто путают угол, который дан в условии, с нужным углом в формуле. Перед подстановкой назови две стороны, которые входят в формулу, и проверь, что заданный угол образован именно ими. Например, для нахождения a по b и c нужен угол A между b и c.
После применения теоремы косинусов легко принять найденное значение квадрата стороны за длину или ошибиться при вычислении произведения. Причина — в формуле сначала получается a², а не a, и при подстановке есть несколько действий. Запиши отдельно результат для a², затем извлеки корень и выбери положительное значение. Подстановка обратно в формулу поможет заметить ошибку в вычислениях.
Ещё одна ошибка — не проверять ответ или считать округлённые значения точными. Из-за этого можно не заметить, что сумма углов отличается от 180° или получилась отрицательная длина. После вычислений проверь сумму углов и убедись, что стороны и углы положительны. Если результаты округлены, допустимо небольшое отличие от 180° при сложении.
Для решения треугольников нужны обозначения его сторон и углов, а также знание того, что сумма углов равна 180°. Ещё нужно уметь находить значения синуса и косинуса угла и преобразовывать простые равенства, например выражать неизвестную сторону из формулы. Эти навыки помогают выбрать и применить нужную теорему. Решение треугольников используют при вычислении расстояний и углов в задачах на измерения и геометрические построения.
Что означает выражение «решить треугольник»?
Это значит найти все неизвестные стороны и углы треугольника по известным элементам. Для этого используют сумму углов, теоремы синусов и косинусов.
Как понять, какую теорему применять?
Посмотри, какие элементы известны и какие величины требуется найти. Пара «сторона и противоположный угол» подсказывает применить теорему синусов, а две стороны с углом между ними — теорему косинусов.
Почему в теореме синусов сторона сопоставляется с противоположным углом?
В этой теореме каждой стороне соответствует синус угла, лежащего напротив неё. Если перепутать эту пару, получится неверное равенство и неправильные вычисления.
Какой угол подставлять в теорему косинусов?
Если ищешь сторону, подставляй угол между двумя известными сторонами. Именно эти стороны и угол между ними входят в формулу: a² = b² + c² − 2bc · cos A.
Как проверить, что треугольник решён правильно?
Проверь, что сумма найденных углов равна 180°, а все стороны и углы положительны. Также убедись, что в формулах сторона сопоставлена с противоположным углом и использован нужный угол.
§ 37. Решение треугольников
