§ 2. Решение треугольников

Определения и обозначения

Решение треугольника — нахождение неизвестных сторон и углов по заданным элементам. В любом треугольнике сумма углов равна 180°, поэтому знание двух углов сразу позволяет найти третий. Решение нужно, чтобы восстановить весь треугольник по неполным данным.

Стороны принято обозначать a, b, c, а противолежащие им углы — A, B, C: a лежит напротив A, b — напротив B, c — напротив C. Такое соответствие важно не путать, особенно при использовании теоремы синусов. Если перепутать пару, вычисления будут относиться к другому элементу.

Теорема синусов утверждает, что отношения стороны к синусу противолежащего угла равны: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Она помогает находить неизвестные стороны и углы, когда известна хотя бы одна пара «сторона — угол напротив неё». Поэтому важно записывать соответствующие элементы вместе.

Теорема косинусов: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, c² = a² + b² − 2ab cos C. Формула площади через две стороны и угол между ними имеет вид S = ½ab sin C. Она позволяет найти площадь, когда известны две стороны и заключённый между ними угол.

Как это устроено

Обозначения a, b, c и A, B, C образуют три пары «сторона — угол напротив неё». Это не просто удобная запись: именно такие пары соединены в теореме синусов. Например, отношение a/sin A можно приравнять к b/sin B, но нельзя без обоснования сопоставить a и sin B. Перед подстановкой полезно отметить, какой угол лежит против каждой известной стороны.

Теорема синусов особенно полезна, когда дана сторона и противолежащий ей угол: их отношение задаёт общий коэффициент для всех трёх пар. Если известны, например, a и A, то при известном B можно найти b из равенства b/sin B = a/sin A. Если же известны две стороны, одна из которых образует такую пару с углом, можно найти синус неизвестного угла. При этом полученное значение синуса ещё нужно проверить на допустимость.

Теорема косинусов нужна, когда данных для прямого применения теоремы синусов недостаточно. В равенстве c² = a² + b² − 2ab cos C угол C расположен между сторонами a и b, а сторона c лежит напротив этого угла. Если C = 90°, то cos C = 0, и остаётся c² = a² + b² — теорема Пифагора. Значит, теорема косинусов охватывает и прямоугольный случай, и треугольники с другими углами.

Выбор формулы зависит от расположения известных элементов. Если известны две стороны и угол между ними, теорема косинусов сразу даёт третью сторону; если известны сторона и противолежащий угол, соотношения теоремы синусов помогают найти остальные элементы. При трёх известных сторонах можно выразить косинус угла из теоремы косинусов. Это позволяет не угадывать формулу, а выбирать её по данным.

После первого вычисления обычно остаются другие неизвестные элементы. Их находят теоремой синусов или косинусов, а последний угол — из суммы 180°. В случае, когда угол находят по его синусу, проверяют оба возможных значения и отбрасывают те, с которыми сумма углов не может равняться 180°. В конце сверяют результат с условиями задачи и проверяют, что стороны и углы могут образовать треугольник.

Выбор способа решения треугольника по заданным данным

Найди в таблице строку, которая соответствует известным элементам задачи. Затем используй основной приём, чтобы получить один недостающий элемент и продолжить решение. Для случая SSA обязательно проверь все допустимые варианты, а не только первый найденный угол.

Разбор задач

Две стороны и угол между ними

В треугольнике две стороны равны 5 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдём третью сторону. Поскольку угол заключён между известными сторонами, для вычисления подходит теорема косинусов. Обозначим третью сторону через c.

1. Запишем теорему косинусов: c² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°. Здесь выбран именно угол между сторонами 5 и 7. Подстановка верна, потому что напротив этого угла находится сторона c.

2. Подставим cos 60° = ½: c² = 25 + 49 − 70 · ½ = 39. Получили положительное значение квадрата стороны. Поэтому c = √39, так как длина стороны не бывает отрицательной.

Ответ: третья сторона равна √39.

Известны три стороны

Даны стороны треугольника 3, 4 и 5; требуется найти его углы. Сторона 5 лежит напротив наибольшего угла, поэтому удобно сначала найти угол C, противолежащий стороне 5. По теореме косинусов можно вычислить cos C, используя две остальные стороны. Затем определим остальные углы.

1. Запишем формулу: cos C = (3² + 4² − 5²)/(2 · 3 · 4). Числитель равен 9 + 16 − 25 = 0, значит, cos C = 0. Следовательно, C = 90°.

2. Для угла A используем синус: sin A = 3/5, поскольку сторона 3 противолежит A, а гипотенуза равна 5. Получаем A ≈ 36,9°. Тогда B = 180° − 90° − 36,9° ≈ 53,1°.

3. Проверим результат: сумма найденных углов приблизительно равна 180°, а сторона 5 действительно самая длинная и лежит напротив прямого угла. Значит, порядок углов согласуется со сторонами. При округлении до десятых возможна небольшая погрешность суммы.

Ответ: углы приблизительно равны 36,9°, 53,1° и 90°.

Две стороны и угол вне между ними

Даны a = 7, b = 10 и A = 30°; угол A не заключён между известными сторонами. Нужно определить число возможных треугольников и найти их элементы. По теореме синусов сначала находим синус угла B, противолежащего стороне b. Так как синус одинаков у углов B и 180° − B, проверим оба варианта.

1. Запишем sin B/b = sin A/a, откуда sin B = 10 · sin 30°/7 = 5/7. Это значение меньше 1, поэтому угол существует. Уравнение sin B = 5/7 даёт два значения в пределах от 0° до 180°: B ≈ 45,6° и B ≈ 134,4°.

2. Проверим сумму углов для каждого варианта. При B ≈ 45,6° получаем C ≈ 104,4°, а при B ≈ 134,4° — C ≈ 15,6°; оба угла положительны. Значит, оба набора дают треугольник.

3. Найдём сторону c по теореме синусов: c/sin C = 7/sin 30°, то есть c = 14 sin C. В первом случае c ≈ 13,5, во втором c ≈ 3,8. В каждом варианте сумма углов равна 180° с учётом округления.

Ответ: существуют два треугольника: их углы приблизительно равны (30°, 45,6°, 104,4°) и (30°, 134,4°, 15,6°), а сторона c — 13,5 и 3,8 соответственно.

Типичные ошибки

В теореме синусов иногда сопоставляют сторону и угол, которые не лежат друг против друга. Причина — путаница в обозначениях: сторона a связана с A, а не с соседним углом. Перед вычислением отметь пары a и A, b и B, c и C и проверь, что в равенстве используются именно они.

В теореме косинусов могут взять не тот угол, например соседний с известными сторонами, но не заключённый между ними. Тогда член с косинусом относится к другой паре сторон и ответ получается неверным. Проверь чертёж или описание: в формуле c² = a² + b² − 2ab cos C угол C должен быть между a и b, а c — напротив него.

Ещё одна ошибка — считать, что известный синус всегда задаёт единственный угол. В промежутке от 0° до 180° углы B и 180° − B имеют одинаковый синус, поэтому могут возникнуть два треугольника. Найди оба варианта, затем проверь сумму углов; невозможный вариант исключи.

Слишком раннее округление и принятие любых исходных данных без проверки тоже ведут к ошибкам. Округляй лучше в конце, а найденные элементы сверяй с условиями существования треугольника: углы положительны и в сумме дают 180°, стороны положительны и сумма любых двух больше третьей. Если эти проверки не выполняются, данные или вычисления нужно пересмотреть.

Связь с другими темами

Для решения треугольников нужны сумма его углов, теорема Пифагора и значения синуса и косинуса углов. Теоремы синусов и косинусов позволяют вычислять расстояния и углы, которые нельзя измерить напрямую, например по наблюдениям с разных точек. Формула площади S = ½ab sin C связывает те же элементы с вычислением площади. Поэтому найденные стороны и углы можно использовать не только для описания треугольника, но и для решения практических геометрических задач.

Что запомнить

• В треугольнике сторона a противолежит углу A, сторона b — углу B, сторона c — углу C.
• Теорема синусов связывает каждую сторону с синусом противолежащего угла.
• Теорему косинусов удобно применять, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны.
• Если угол между известными сторонами равен 90°, теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• При данных «две стороны и угол вне между ними» возможны разные решения; найденные варианты нужно проверять.