"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Описанный четырехугольник — выпуклая фигура, вокруг которой можно провести окружность, касающуюся каждой стороны. Точки касания помогают связать длины сторон: касательные, проведенные из одной вершины, равны, поэтому суммы противоположных сторон оказываются одинаковыми. Для выпуклого четырехугольника это равенство служит и признаком существования вписанной окружности. Эти свойства позволяют находить неизвестные стороны, доказывать возможность описать четырехугольник около окружности и вычислять его площадь через радиус и полупериметр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Описанный четырехугольник — выпуклый четырехугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Иными словами, окружность расположена внутри фигуры и имеет с каждой ее стороной общую точку. Это определение помогает отличить описанный четырехугольник от вписанного, у которого на окружности лежат вершины.
Вписанная окружность четырехугольника — окружность, касающаяся всех его сторон; ее центр равноудален от сторон и лежит на биссектрисах углов. Биссектриса делит угол на две равные части, а каждая ее точка одинаково удалена от сторон угла. Поэтому биссектрисы помогают искать центр окружности, которая должна касаться сторон.
Точка касания — точка, в которой окружность касается стороны; радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен стороне. Сторону в точке касания можно рассматривать как касательную к окружности. Перпендикулярность радиуса и стороны нужна в задачах, где требуется найти расстояние от центра окружности до стороны.
Рассмотрим угол и окружность, которая касается обеих его сторон. Центр окружности находится на одинаковом расстоянии от этих сторон: расстояния измеряются перпендикулярами к ним, и оба равны радиусу. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, — его биссектриса. Поэтому центр такой окружности лежит на биссектрисе; у четырехугольника центр вписанной окружности должен одновременно лежать на биссектрисах его углов.
Пусть из вершины четырехугольника к окружности проведены касательные по двум сторонам. Их отрезки от вершины до точек касания равны, поскольку касательные, проведенные из одной точки, равны. Обозначим длины касательных от вершин A, B, C и D через x, y, z и t. Тогда стороны равны x + y, y + z, z + t и t + x; при сложении противоположных сторон в обоих случаях получается x + y + z + t. Отсюда следует равенство сумм противоположных сторон.
Обратное утверждение для выпуклого четырехугольника доказывают через построение окружности, касающейся трех его сторон. Ее центр лежит на биссектрисах углов, образованных этими сторонами. Длины касательных из вершин к построенной окружности равны, а равенство сумм противоположных сторон обеспечивает совпадение нужного отрезка касания с четвертой стороной. Значит, окружность касается и этой стороны. Выпуклость нужна, чтобы точки касания располагались именно на сторонах, а не на их продолжениях.
Площадь можно найти, разбив четырехугольник на четыре треугольника с вершиной в центре вписанной окружности. Высота каждого такого треугольника к стороне четырехугольника равна радиусу r, потому что радиус перпендикулярен стороне в точке касания. Складывая площади треугольников, получаем половину произведения радиуса на сумму сторон: S = ½ · r · P, где P — периметр. Так как полупериметр p = P / 2, формула принимает вид S = r · p.
В задачах сначала выясняют, какие стороны противоположны, и только затем записывают равенство их сумм. Если требуется доказать, что около четырехугольника можно описать окружность, проверяют равенство сумм и выпуклость фигуры. Если нужно найти площадь, используют радиус и полупериметр; если неизвестна сторона — составляют уравнение по равенству противоположных сумм. Каждый результат стоит проверить по исходному условию.
| Что рассматривается | Свойство или условие |
|---|---|
| Касательные из одной вершины | Отрезки касательных к окружности равны. |
| Суммы длин противоположных сторон | Для описанного четырехугольника a + c = b + d. |
| Признак описанного четырехугольника | Если выпуклый четырехугольник удовлетворяет равенству a + c = b + d, его можно описать около окружности. |
| Площадь через радиус вписанной окружности | S = r · p, где r — радиус, p — полупериметр. |
Сначала соотнесите обозначения a, b, c, d с порядком сторон: противоположны стороны, между которыми расположены две другие. Равенство сумм применяйте для четырехугольника, а не для произвольной последовательности чисел. Формула площади удобна, когда известны радиус вписанной окружности и полупериметр.
Выпуклый четырехугольник описан около окружности. Три его стороны равны 4, 7 и 5; сторона, противоположная стороне длиной 4, неизвестна. Обозначим ее через x. Поскольку фигура описана около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.
Ответ: четвертая сторона равна 8.
Стороны выпуклого четырехугольника равны 6, 8, 10 и x; сторона x противоположна стороне 6. Нужно найти x и проверить условие описанного четырехугольника. Чтобы применить свойство, сопоставим сумму 6 + x с суммой двух остальных сторон. Само равенство сумм позволит проверить признак, но предполагает, что четырехугольник выпуклый.
Ответ: x = 12; выпуклый четырехугольник с такими сторонами можно описать около окружности. Одни только длины сторон не задают конкретную фигуру, поэтому вывод о возможности описания делается по признаку для выпуклого четырехугольника.
Докажите, что выпуклый четырехугольник можно описать около окружности, если суммы длин его противоположных сторон равны. Чтобы обосновать касание всех четырех сторон, нужно не просто сослаться на равенство: следует объяснить, почему окружность, касающаяся трех сторон, коснется и четвертой. Используем центр как точку пересечения биссектрис и равенство касательных от одной вершины.
Вывод: выпуклый четырехугольник с равными суммами противоположных сторон описан около окружности. В доказательстве существенно условие выпуклости: оно гарантирует, что касание относится к сторонам фигуры.
Путать описанный четырехугольник с вписанным — значит менять местами стороны и вершины: в первом случае окружность касается сторон, во втором проходит через вершины. Путаница возникает из-за похожих названий. Проверка простая: спросите себя, что именно имеет общие точки с окружностью — стороны или вершины.
При применении свойства иногда складывают соседние стороны вместо противоположных. Это происходит, если не отметить порядок сторон: у четырехугольника противоположные стороны не имеют общей вершины. Перед записью равенства назовите стороны по кругу, например a, b, c, d, и используйте пары a с c и b с d.
Еще одна ошибка — считать равенство противоположных сумм достаточным без условия выпуклости. Признак сформулирован для выпуклого четырехугольника, потому что без выпуклости касательные могут попадать на продолжения сторон. Проверяйте форму фигуры до применения признака, а не после вычислений.
Равенство касательных из одной вершины не означает, что равны стороны четырехугольника. Равны только отрезки от этой вершины до точек касания; целая сторона состоит из двух таких отрезков у соседних вершин. Для самопроверки разделите каждую сторону на части и лишь затем складывайте длины.
Для этой темы нужны свойства касательной к окружности: радиус к точке касания перпендикулярен касательной, а касательные из одной точки равны. Они дают связь между окружностью и длинами сторон четырехугольника. Также используется биссектриса угла: точка на ней равноудалена от сторон угла, поэтому центр вписанной окружности лежит на биссектрисах.
Эти идеи пригодятся в задачах на периметр и площадь, а также в доказательствах существования вписанной окружности. Формула S = r · p связывает площадь с радиусом окружности и полупериметром. Равенство противоположных сумм помогает находить неизвестные стороны и проверять, можно ли описать данный выпуклый четырехугольник около окружности.
Чем описанный четырехугольник отличается от вписанного?
У описанного четырехугольника все стороны касаются окружности, а у вписанного все вершины лежат на окружности. В первом случае окружность находится внутри фигуры и касается ее сторон.
Почему у описанного четырехугольника равны суммы противоположных сторон?
Из каждой вершины к окружности проведены две касательные, и их длины равны. Если обозначить длины таких отрезков у четырех вершин, то каждая сторона складывается из отрезков у соседних вершин; при сложении противоположных сторон получаются одни и те же четыре отрезка.
Достаточно ли равенства сумм противоположных сторон, чтобы описать окружность около четырехугольника?
Да, если четырехугольник выпуклый. Равенство сумм противоположных сторон позволяет построить окружность, касающуюся всех его сторон; без условия выпуклости этот признак применять нельзя.
Как найти неизвестную сторону описанного четырехугольника?
Запишите равенство сумм длин противоположных сторон и подставьте известные длины. Решите полученное уравнение и проверьте, что результат положителен и согласуется с условием задачи.
Как выразить площадь описанного четырехугольника через радиус вписанной окружности?
Соедините центр окружности со всеми вершинами. Получатся треугольники с основаниями, равными сторонам четырехугольника, и общей высотой — радиусом r. Поэтому площадь равна r умножить на полупериметр: S = r · p.
1.5. Описанный четырехугольник
