89. Описанный четырехугольник

Определения и обозначения

Описанный четырехугольник — выпуклый четырехугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Выпуклый — значит, что его внутренние углы меньше 180° и диагонали лежат внутри фигуры. Определение помогает отличить такой четырехугольник от того, у которого вершины лежат на окружности.

Вписанная окружность четырехугольника — окружность, касающаяся всех его сторон; для описанного четырехугольника она является общей для сторон. Центр такой окружности обозначим O, а её радиус — r. Это удобно, когда нужно связывать свойства окружности со сторонами и углами фигуры.

Точка касания — точка, в которой сторона четырехугольника касается вписанной окружности. Радиус, проведённый в эту точку, перпендикулярен стороне, поэтому расстояние от центра до каждой стороны равно r. Это свойство позволяет находить центр окружности через углы и доказывать равенство отрезков.

Как это устроено

Чтобы окружность касалась двух сторон угла, её центр должен находиться на одинаковом расстоянии от обеих сторон. Точки, равноудалённые от сторон угла, лежат на его биссектрисе, поэтому центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов четырехугольника. При этом расстояние от центра до стороны измеряется перпендикулярным радиусом.

Из одной вершины четырехугольника к окружности выходят две касательные — по сторонам, образующим угол. Их отрезки от вершины до точек касания равны по свойству касательных. Если длины таких отрезков из вершин A, B, C и D обозначить x, y, z и t, то стороны равны: AB = x + y, BC = y + z, CD = z + t, AD = t + x.

Сложим длины противоположных сторон: AB + CD = (x + y) + (z + t), а BC + AD = (y + z) + (t + x). В обеих суммах оказываются одни и те же отрезки касательных, поэтому суммы равны: AB + CD = BC + AD. Это необходимое условие описанного четырехугольника: оно должно выполняться, если окружность касается всех его сторон.

Верно и обратное утверждение: если выпуклый четырехугольник удовлетворяет равенству AB + CD = BC + AD, около него можно описать окружность. Речь идёт именно о существовании окружности, касающейся всех четырёх сторон, а не о том, что вершины лежат на окружности. В доказательстве равенство сумм используют, чтобы согласовать длины касательных на соседних сторонах: построенная окружность касается каждой из них.

Построение начинают с биссектрис углов: их пересечение задаёт точку, равноудалённую от сторон углов. Окружность с центром в этой точке и радиусом, равным расстоянию до стороны, касается двух сторон каждого угла. Равенство отрезков касательных помогает проверить, что точки касания на соседних сторонах согласуются, а условие равенства противоположных сумм обеспечивает касание всех четырёх сторон.

Описанный четырехугольник: определение и признак

Сначала выясни, что именно требуется: найти длину, проверить условие или обосновать существование окружности. Для вычислений удобно обозначить равные касательные отрезки из каждой вершины одной буквой. Не забывай проверять, что четырехугольник выпуклый, если применяешь обратное утверждение.

Разбор задач

Задача 1

В четырехугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны 5, 7 и 4. Около него можно описать окружность, касающуюся всех сторон; найдём AD. Так как четырехугольник описанный, суммы длин противоположных сторон равны. Здесь противоположные пары — AB и CD, BC и AD.

1. Записываем свойство: AB + CD = BC + AD.
2. Подставляем известные длины: 5 + 4 = 7 + AD.
3. Получаем 9 = 7 + AD, откуда AD = 2.

Ответ: AD = 2. Перед вычислением полезно проверить, что стороны расставлены по парам правильно: AB противоположна CD, а BC — AD. Равенство касается сумм, а не отдельных сторон.

Задача 2

Окружность касается сторон четырехугольника ABCD, а точки касания делят стороны на отрезки. По этим данным нужно найти неизвестную сторону или периметр. Обозначим длины касательных отрезков из A, B, C и D буквами x, y, z и t соответственно. Такое обозначение сразу учитывает равенство касательных, выходящих из одной вершины.

1. Записываем стороны через обозначения: AB = x + y, BC = y + z, CD = z + t, AD = t + x.
2. Если неизвестна, например, сторона AD, используем равенство противоположных сумм: AD = AB + CD − BC.
3. Для периметра складываем четыре стороны: P = (x + y) + (y + z) + (z + t) + (t + x) = 2(x + y + z + t).
4. Подставляем данные задачи в подходящую формулу и выполняем вычисления.

Ответ зависит от значений отрезков, приведённых в условии. При записи длин следи, чтобы одинаковая буква обозначала только касательные из одной и той же вершины. Например, отрезки касательных из A равны между собой, но не обязаны равняться отрезкам из B.

Задача 3

Длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника равны 6, 9, 8 и 5. Проверим, можно ли описать около него окружность. Если обозначить стороны AB = 6, BC = 9, CD = 8, AD = 5, то нужно сравнить суммы противоположных сторон. Выпуклость дана, поэтому при выполнении равенства можно применить обратное утверждение.

1. Находим сумму AB + CD: 6 + 8 = 14.
2. Находим сумму BC + AD: 9 + 5 = 14.
3. Суммы совпали, значит, для выпуклого четырехугольника выполнен признак описанного четырехугольника.

Ответ: около четырехугольника можно описать окружность, касающуюся всех его сторон. Если бы суммы не совпали, условие признака не выполнялось бы и такой вывод сделать было бы нельзя. Сравнение сумм не требует знать положение точек касания.

Типичные ошибки

Путать описанный четырехугольник с четырехугольником, вписанным в окружность. Это происходит потому, что в обоих названиях упоминается окружность, но условия разные: в первом случае окружность касается сторон, во втором на ней лежат вершины. Проверь себя вопросом: «Что именно касается окружности — стороны или вершины?»

Считать равными отрезки касательных из разных вершин. Равенство относится только к двум касательным, проведённым из одной точки, а длины отрезков из разных вершин могут отличаться. Для проверки обозначь одинаковыми буквами только отрезки, выходящие из одной вершины.

Записывать неверную пару противоположных сторон, например AB + BC = CD + AD. Так ошибаются, если ориентируются на соседство букв, а не на положение сторон. В четырехугольнике ABCD пары противоположных сторон — AB и CD, BC и AD; можно проверить их по вершинам или мысленно обойти контур.

Применять равенство сумм противоположных сторон как признак без условия выпуклости. Обратное утверждение в этой теме сформулировано для выпуклого четырехугольника, поэтому для фигуры, которая не является выпуклой, одного равенства недостаточно для такого вывода. Перед проверкой признака уточни форму фигуры и порядок её вершин.

Связь с другими темами

Для работы с описанным четырехугольником нужны свойства касательной: радиус перпендикулярен касательной в точке касания, а касательные из одной точки равны. При построении окружности пригодится знание о биссектрисе: её точки равноудалены от сторон угла. Также важно уметь находить периметр и выражать неизвестную сторону из равенства.

Эти знания применяются в задачах на окружности, касательные и вычисление длин. Тема помогает различать вписанные и описанные многоугольники и понимать, как расположение окружности связано со сторонами фигуры. При переходе к многоугольникам рассуждение о касательных можно использовать и для других фигур.

Что запомнить

• Описанный четырехугольник имеет окружность, касающуюся всех его сторон.
• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Касательные из одной точки к окружности равны.
• У описанного четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны.
• Для выпуклого четырехугольника равенство сумм противоположных сторон служит признаком того, что около него можно описать окружность.
• Не смешивай описанный четырехугольник с четырехугольником, вписанным в окружность.