§ 2. Решение треугольников

Определения и обозначения

Решение треугольника — нахождение всех неизвестных сторон и углов по заданным элементам. Треугольник считается определённым, если заданных элементов достаточно, чтобы однозначно найти остальные. Это понятие помогает понять цель задачи и проверить, хватает ли исходных данных.

Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Она позволяет перейти от известной пары «сторона — угол» к другим сторонам или углам. Углы в формулах могут быть заданы в градусах.

Теорема косинусов связывает квадрат одной стороны с квадратами двух других и косинусом угла между ними: c² = a² + b² − 2ab cos C. С её помощью можно найти сторону, когда известны две другие и угол между ними, или угол по трём сторонам. Это обобщение теоремы Пифагора для произвольного угла.

Теорема о площади треугольника выражает площадь через две стороны и синус угла между ними: S = ½ab sin C. Формула пригодится, когда высота неизвестна, но стороны и угол известны. Если известен прямоугольный треугольник, высоту можно заменить соответствующим катетом.

Как это устроено

Для работы удобно обозначать стороны a, b, c, а противолежащие им углы — A, B, C. Например, сторона a лежит напротив вершины A, поэтому именно эту пару записывают в дробь a/sin A. Совпадение букв не означает, что сторона прилегает к углу: наоборот, они находятся друг напротив друга. Такая договорённость предотвращает путаницу при подстановке данных в формулы.

Теорему синусов можно получить, опустив высоту из одной вершины на противоположную сторону. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, поэтому высота выражается как h = c sin A и одновременно как h = a sin C. Приравнивая эти выражения, получаем c/sin C = a/sin A; аналогичные рассуждения дают равенство для третьей стороны. Значит, одинаковое отношение возникает из-за общей высоты, а не является отдельным случайным свойством.

Чтобы понять теорему косинусов, проведём высоту и рассмотрим проекцию одной стороны на другую. Проекция стороны b на сторону a равна b cos C, а перпендикулярная составляющая образует с ней прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора после раскрытия квадрата разности получается c² = a² + b² − 2ab cos C. При C = 90° косинус равен нулю, и остаётся c² = a² + b².

Выбор теоремы зависит от исходных данных, потому что у каждой формулы есть свои известные элементы. Если дана сторона и её противолежащий угол, теорема синусов связывает эту пару с другими сторонами и углами. Две стороны и угол между ними подсказывают теорему косинусов, а три стороны позволяют выразить косинус любого угла через стороны. Найденные углы затем проверяют по сумме 180°.

Площадь треугольника обычно находят как половину произведения основания на высоту. Если взять за основание сторону a, то высота к ней равна b sin C: синус угла C показывает, какую часть стороны b составляет перпендикулярная составляющая. Подстановка этой высоты даёт S = ½ab sin C. Поэтому нужен именно угол между выбранными сторонами: он позволяет вычислить высоту к одной из них.

Формулы для решения треугольника

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую тому, что требуется получить, а затем сверьте её с известными элементами. Угол в формулах косинусов и площади должен быть заключён между указанными сторонами. Если подходящих исходных данных пока нет, сначала найдите дополнительный элемент, например угол по сумме углов.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике известны сторона a = 8 и углы A = 40°, B = 65°. Найти угол C и стороны b и c. Сначала можно определить третий угол, а затем использовать теорему синусов, поскольку известны сторона a и противолежащий ей угол A.

1. По сумме углов C = 180° − 40° − 65° = 75°. Теперь известны все углы.
2. Записываем теорему синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Выражаем стороны: b = 8 sin 65°/sin 40°, c = 8 sin 75°/sin 40°.
3. Вычисляем приближённо: b ≈ 11,3, c ≈ 12,0. Проверяем, что каждой стороне сопоставлен угол напротив неё.

Ответ: C = 75°, b ≈ 11,3, c ≈ 12,0.

Задача 2. Даны две стороны треугольника a = 7, b = 5 и угол C = 60° между ними. Найти третью сторону c и площадь. Для стороны нужна теорема косинусов, так как известны обе прилежащие к углу стороны; площадь можно сразу найти по тем же двум сторонам и углу.

1. Подставляем данные: c² = 7² + 5² − 2 · 7 · 5 · cos 60° = 49 + 25 − 35 = 39. Значит, c = √39 ≈ 6,24.
2. Находим площадь: S = ½ · 7 · 5 · sin 60° = 35√3/4 ≈ 15,2. В формулу попали стороны, между которыми расположен угол 60°.

Ответ: c = √39 ≈ 6,24, S = 35√3/4 ≈ 15,2.

Задача 3. Известны стороны a = 5, b = 6, c = 7. Найти углы и площадь. По трём сторонам удобно сначала получить угол C из теоремы косинусов, затем найти ещё один угол и использовать формулу площади.

1. Проверяем существование треугольника: 5 + 6 > 7, 5 + 7 > 6 и 6 + 7 > 5. Данные допустимы.
2. cos C = (5² + 6² − 7²)/(2 · 5 · 6) = 12/60 = 0,2, поэтому C ≈ 78,5°. По теореме косинусов cos A = (6² + 7² − 5²)/(2 · 6 · 7) = 60/84, откуда A ≈ 44,4°.
3. Находим B = 180° − A − C ≈ 57,1°. Для площади используем стороны a и b и угол C между ними: S = ½ · 5 · 6 · sin C ≈ 14,7.

Ответ: A ≈ 44,4°, B ≈ 57,1°, C ≈ 78,5°, S ≈ 14,7.

Типичные ошибки

• В теореме синусов сопоставляют сторону с углом при её конце, а не с противолежащим. Так происходит, если смотреть только на расположение букв в рисунке и не проверить их смысл. Перед подстановкой отметьте пары a и A, b и B, c и C.
• В теореме косинусов берут угол не между известными сторонами или ставят плюс вместо минуса перед слагаемым с косинусом. Причина — механическое запоминание формулы без связи с проекцией. Проверьте, что выбранный угол заключён между сторонами, и при 90° формула превращается в теорему Пифагора.
• После применения обратной тригонометрической функции принимают найденный угол без проверки. Ошибка возможна из-за неверного знака или округления, а также потому, что косинус может соответствовать углу, не подходящему условию. Сверьте угол с данными и убедитесь, что сумма углов равна 180°.
• В формулу площади подставляют угол, не заключённый между выбранными сторонами. Обычно путают угол, прилегающий к одной стороне, с углом между двумя сторонами. Проверьте расположение угла и сторон; при необходимости выберите другую пару сторон и соответствующий угол.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны сумма углов треугольника, теорема Пифагора и определения синуса и косинуса угла. Теорема Пифагора помогает вывести теорему косинусов, а значения тригонометрических функций связывают угол с отношениями сторон и высотой. Поэтому полезно уверенно вычислять синусы и косинусы заданных углов и пользоваться обратными функциями.

В стереометрии теоремы применяют к треугольникам, образованным рёбрами и диагоналями многогранника, чтобы находить расстояния и углы. В задачах на измерения они позволяют вычислять недоступные длины по доступным сторонам и углам. Формула площади помогает находить площадь участка или фигуры, когда известны две длины и угол между ними.

Что запомнить

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• В теореме синусов каждой стороне соответствует противолежащий угол.
• Теорема косинусов связывает три стороны и угол между двумя из них.
• При прямом угле теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.
• Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
• При решении сначала выбирают формулу, подходящую к заданным элементам.