§ 12. Решение треугольников

Определения и обозначения

Решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных сторон и углов по заданным элементам. Например, если известны два угла, можно найти третий, а затем использовать свойства равных треугольников. Такое решение помогает восстановить треугольник по неполному описанию.

Заданными элементами считают длины сторон и величины углов. Стороны обычно обозначают буквами a, b, c, а противолежащие им углы — α, β, γ. Нужно различать просто известные элементы и такой набор данных, который действительно определяет единственный треугольник.

Для однозначного определения треугольника нужны три элемента, причём хотя бы один из них должен быть стороной. Три угла задают только форму, но не размер: маленький и большой подобные треугольники могут иметь одинаковые углы. Поэтому без длины хотя бы одной стороны нельзя найти остальные стороны в сантиметрах.

Как это устроено

Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому, если известны углы α и β, третий угол вычисляют по формуле γ = 180° − α − β. Из суммы вычитают оба известных угла, потому что вместе они занимают именно α + β градусов.

Если заданные элементы определяют треугольник однозначно, любой треугольник с такими данными будет равен ему. Это устанавливают по одному из признаков равенства треугольников: соответствующие стороны и углы совпадут. Значит, после построения можно считать найденными и те элементы, которые на чертеже оказались соответствующими.

Пусть известны две стороны и угол между ними. Сначала строят этот угол, затем откладывают на его лучах заданные отрезки и соединяют их концы. Получается треугольник, потому что две стороны уже имеют общий угол и их концы можно соединить третьим отрезком. Другого неравного треугольника с теми же данными быть не может по признаку равенства по двум сторонам и углу между ними.

При известных стороне и двух прилежащих к ней углах сначала находят третий угол по формуле суммы углов. Затем строят заданную сторону, а в её концах откладывают два известных угла. Пересечение лучей задаёт третью вершину, поэтому треугольник определяется однозначно по стороне и двум прилежащим углам.

Три стороны также определяют треугольник с точностью до равенства: одну сторону можно построить как основание, а две другие — как радиусы окружностей с центрами в её концах. Пересечение окружностей даёт третью вершину, причём отражённый вариант треугольника равен исходному. Но построение возможно только при неравенстве треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.

Какие данные позволяют определить треугольник

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом: сначала определите, какие элементы даны, а затем выберите подходящий признак равенства. Если даны три стороны, сначала проверьте их существование. Если указаны только углы, найти конкретные длины сторон нельзя.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Требуется найти третий угол. Обозначим его через γ.

1. Сумма всех углов треугольника равна 180°.
2. Сложим известные углы: 48° + 67° = 115°.
3. Вычтем эту сумму из 180°: γ = 180° − 115° = 65°.

Ответ: третий угол равен 65°.

Задача 2

Даны две стороны длиной 5 см и 7 см и угол 60° между ними. Нужно определить, можно ли однозначно построить такой треугольник, и описать построение.

1. Построим угол величиной 60° с вершиной A.
2. На одном луче отложим AB = 5 см, а на другом — AC = 7 см.
3. Соединим точки B и C отрезком. Получится треугольник ABC.
4. Две стороны и угол между ними заданы, поэтому любой треугольник с такими данными равен ABC по признаку равенства.

Ответ: треугольник можно построить однозначно; оставшиеся элементы находят после построения или по свойствам равного треугольника.

Задача 3

Проверим, существует ли треугольник со сторонами 4 см, 6 см и 11 см, а затем рассмотрим стороны 4 см, 6 см и 9 см. Для каждой тройки сравним сумму любых двух сторон с третьей.

1. Для 4, 6 и 11 имеем 4 + 6 = 10, а 10 не больше 11. Неравенство треугольника нарушено.
2. Следовательно, треугольник со сторонами 4 см, 6 см и 11 см не существует.
3. Для 4, 6 и 9 получаем 4 + 6 = 10 > 9, 4 + 9 = 13 > 6 и 6 + 9 = 15 > 4.
4. Все три неравенства выполняются, значит, треугольник со сторонами 4 см, 6 см и 9 см существует и определяется однозначно.

Ответ: первая тройка невозможна, вторая задаёт единственный треугольник с точностью до равенства.

Типичные ошибки

Трёх углов достаточно для нахождения сторон. Углы определяют форму, но не размер, поэтому стороны могут быть пропорциональны и различаться по длине. Проверьте себя: представьте два подобных треугольника разных размеров.

Из 180° вычитают только один угол. Так забывают учесть второй известный угол и получают завышенный результат. Записывайте формулу γ = 180° − α − β до подстановки чисел.

Путают угол между сторонами с противоположным углом. Угол между двумя заданными сторонами расположен между ними, а не напротив одной из них. На чертеже сначала найдите общую вершину этих сторон.

Проверяют неравенство только для одной пары. Одного удачного сравнения недостаточно: нарушение может обнаружиться в другой паре. Сравните сумму каждой пары сторон с оставшейся третьей.

Связь с другими темами

До решения треугольников нужно знать сумму его углов, признаки равенства треугольников и неравенство треугольника. Эти свойства объясняют, почему заданные элементы позволяют восстановить фигуру и проверить её существование.

Тема пригодится при геометрических построениях и в задачах, где известны только некоторые стороны или углы. Она учит выбирать подходящий признак и находить неизвестные элементы без измерения чертежа.

Что запомнить

• Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Треугольник однозначно определяется по двум сторонам и углу между ними.
• Треугольник однозначно определяется по стороне и двум прилежащим к ней углам.
• Треугольник однозначно определяется по трём сторонам, если он существует.
• Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей.
• Три угла определяют форму, но не размер треугольника.