"Геометрия", Погорелов А.В.
Теорема косинусов связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов. Она помогает найти третью сторону, если известны две стороны и угол между ними, или определить угол по трём сторонам. В отличие от теоремы Пифагора, эта теорема подходит не только для прямоугольных треугольников. Если угол прямой, формула косинусов превращается в теорему Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема косинусов утверждает: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Косинус — число, связанное с величиной угла; в этой теореме он показывает, как угол влияет на длину третьей стороны. Правило нужно, когда прямой угол отсутствует и теорема Пифагора неприменима.
Обозначим стороны треугольника буквами a, b, c, а противолежащие им углы — A, B, C. Тогда для стороны c формула имеет вид: c² = a² + b² − 2ab cos C. Угол C находится именно между сторонами a и b, а сторона c лежит напротив него. Такая договорённость помогает не перепутать угол и стороны при подстановке чисел.
Если известны три стороны, из той же формулы можно выразить косинус угла C: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab). Это называют обратной теоремой косинусов: сначала по длинам сторон находят косинус, а затем по нему определяют угол. Приём нужен, когда требуется найти угол, но прямого угла в треугольнике нет.
Представим треугольник, в котором известны стороны a и b и угол C между ними. Требуется найти третью сторону c, то есть расстояние между концами этих сторон. Теорема косинусов объединяет все три известные величины в одной формуле. Она учитывает не только длины сторон, но и то, насколько стороны расходятся под данным углом.
Идею доказательства можно увидеть, если опустить высоту из вершины угла C на сторону, лежащую напротив. Высота делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника, где удобно применять свойства прямоугольного треугольника. Проекция стороны на основание — это её часть, направленная вдоль основания; через определение косинуса она выражается как длина стороны, умноженная на косинус соответствующего угла. Так длины отрезков основания связываются с исходными сторонами и углом.
Далее длину c получают по двум взаимно перпендикулярным направлениям: вдоль основания и вдоль высоты. При возведении в квадрат возникает квадрат разности проекций, а раскрытие скобок даёт слагаемое со знаком минус: −2ab cos C. Именно поэтому в теореме стоит минус, а не плюс. Знак не нужно заучивать отдельно от формулы: полезно проверить его на частном случае прямого угла.
Если C = 90°, то cos C = 0, потому что в прямоугольном треугольнике соответствующее отношение равно нулю. Слагаемое −2ab cos C исчезает, и остаётся c² = a² + b². Это теорема Пифагора: теорема косинусов включает её как частный случай. Поэтому при прямом угле обе формулы дают один результат.
Чтобы получить формулу для стороны a или b, достаточно переставить буквы так, чтобы нужная сторона стояла слева, а угол напротив неё — после косинуса. Если же известны все три стороны, уравнение для c² преобразуют: переносят c² в правую часть, а 2ab cos C — в левую, затем делят на 2ab. Так получают формулу обратной теоремы и находят угол по его косинусу.
| Что требуется найти | Формула | Какие данные нужны |
|---|---|---|
| Сторону c | c² = a² + b² − 2ab cos C | Стороны a и b, угол C между ними |
| Сторону a | a² = b² + c² − 2bc cos A | Стороны b и c, угол A между ними |
| Сторону b | b² = a² + c² − 2ac cos B | Стороны a и c, угол B между ними |
| Угол C по трём сторонам | cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) | Все три стороны a, b, c |
Сначала определите, что требуется найти, и выберите соответствующую строку таблицы. Затем сверьте данные: при поиске стороны нужен угол между двумя известными сторонами, а при поиске угла — все три стороны. Для угла после вычисления косинуса нужно найти сам угол.
Условие. В треугольнике две стороны равны 5 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону. Поскольку дан угол между известными сторонами, применяем теорему косинусов. Обозначим третью сторону буквой c.
Ответ: √39, или примерно 6,24. Проверка здравого смысла: найденная сторона меньше суммы 5 и 7, как и должно быть в треугольнике. Мы нашли именно сторону напротив данного угла.
Условие. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите косинус угла, лежащего напротив стороны 7. Назовём этот угол C, а сторону напротив него — c = 7. Две остальные стороны, образующие угол C, равны 5 и 6.
Ответ: cos C = 0,2. Если нужно было бы найти сам угол, пришлось бы дополнительно определить угол, косинус которого равен 0,2. Полученное значение находится между −1 и 1, поэтому оно допустимо для косинуса.
Условие. В треугольнике стороны, образующие угол, равны 8 и 10, а третья сторона равна 6. Найдите угол между сторонами 8 и 10. Он лежит напротив стороны 6, поэтому обозначим его C и запишем формулу для cos C. Сначала найдём косинус, затем определим сам угол.
Ответ: примерно 37°. Проверка показывает, что косинус 0,8 допустим, поскольку он находится от −1 до 1. Сторона 6 лежит напротив искомого угла, поэтому в числителе вычитали именно 6².
Берут косинус не того угла. Так бывает, если выбирают угол, не заключённый между сторонами, квадраты которых стоят справа. Перед подстановкой отметьте угол между известными сторонами и проверьте, что напротив него лежит искомая сторона.
Забывают множитель 2 или меняют знак. Множитель теряется при переписывании формулы, а минус иногда заменяют плюсом. Сверьте запись с формулой c² = a² + b² − 2ab cos C и проверьте случай C = 90°: тогда должно получиться c² = a² + b².
Путают сторону и противолежащий ей угол. Например, подставляют c вместе с углом A, хотя c лежит напротив C. Ошибка возникает, если обозначения выбирают по порядку, не проверяя чертёж. Перед вычислениями запишите пары: a и A, b и B, c и C.
Находят косинус, но забывают найти угол. При поиске угла запись cos C = 0,8 — ещё не ответ на вопрос о величине C. После вычисления косинуса определите соответствующий угол; заодно проверьте, что значение косинуса находится в промежутке от −1 до 1.
Для работы с теоремой косинусов нужны теорема Пифагора, свойства прямоугольного треугольника и определение косинуса угла. Свойства прямоугольных треугольников помогают понять идею доказательства, а косинус связывает угол с длинами сторон и их проекций. Теорема пригодится при решении треугольников — нахождении его неизвестных сторон и углов. Она позволяет решать такие задачи и тогда, когда треугольник не прямоугольный.
Какую сторону подставлять вместо c в теореме косинусов?
Буквой c обозначают сторону, которая лежит напротив угла C. В формуле c² = a² + b² − 2ab cos C стороны a и b образуют угол C, а c — искомая третья сторона.
Почему в формуле теоремы косинусов стоит знак минус?
При доказательстве рассматривают разность проекций сторон, и при возведении её в квадрат появляется слагаемое со знаком минус. Проверить знак можно на прямом угле: cos 90° = 0, и формула становится теоремой Пифагора.
Как понять, какой угол нужно брать в формуле?
Нужен угол между двумя сторонами, квадраты которых стоят в формуле справа. Эта сторона угла не может быть искомой третьей стороной: она лежит напротив выбранного угла.
Можно ли по трём сторонам найти угол треугольника?
Да. Выразите косинус искомого угла из теоремы косинусов, а затем найдите угол, косинус которого получился. Например, cos C = (a² + b² − c²) / (2ab).
Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?
Теорема Пифагора относится к прямоугольному треугольнику, а теорема косинусов подходит для любого треугольника. При прямом угле косинус равен нулю, поэтому формула косинусов становится формулой Пифагора.
110. Теорема косинусов
