1.2. Теорема косинусов

Определения и обозначения

Теорема косинусов связывает стороны треугольника и косинус одного из его углов. Для стороны a формула имеет вид: a² = b² + c² − 2bc·cos A. Она позволяет найти сторону, если известны две другие стороны и угол между ними, а также помогает вычислить угол, когда известны все три стороны. В отличие от теоремы Пифагора, эта теорема подходит для любого треугольника.

В обозначениях треугольника сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив B, а сторона c — напротив C. Буквы стороны и противолежащего ей угла совпадают, поэтому легко увидеть, какая сторона стоит напротив выбранного угла. Это правило помогает не перепутать слагаемые при подстановке чисел. Например, если ищем сторону a, квадрат a будет отдельно стоять в левой части равенства.

Угол A в формуле для a заключён между сторонами b и c: именно эти две стороны образуют его стороны. Поэтому выражение 2bc·cos A использует и произведение длин b и c, и косинус угла между ними. Угол, лежащий напротив искомой стороны, не всегда дан прямо в условии — его нужно соотнести с обозначениями. Такой выбор угла позволяет применить теорему к нужной стороне.

Углы треугольника лежат между 0° и 180°, и теорему косинусов можно применять к каждому из них. Косинус острого угла положителен, прямого — равен нулю, а тупого — отрицателен. Последнее особенно важно при вычислениях: вычитание отрицательного числа превращается в сложение. Если не учитывать знак косинуса, можно неверно найти длину стороны или оценить угол.

Как это устроено

Если угол A между сторонами b и c прямой, то cos A = 0. Слагаемое 2bc·cos A исчезает, и остаётся a² = b² + c² — это теорема Пифагора. Значит, привычная формула для прямоугольного треугольника является частным случаем теоремы косинусов. Такая проверка помогает понять, почему в общей формуле появляется дополнительное слагаемое: оно учитывает отличие угла от прямого.

Формулу для a можно получить, опустив высоту из вершины угла A на сторону a. Пусть высота равна h, а проекция стороны b на прямую, содержащую a, равна x. Из определения косинуса x = b·cos A, а для прямоугольного треугольника со сторонами h и x теорема Пифагора даёт c² = h² + x². Для другого прямоугольного треугольника получается a² = h² + (b − x)²; подстановка h² = c² − x² и x = b·cos A приводит к a² = b² + c² − 2bc·cos A.

Равенства для остальных сторон получают тем же способом, циклически меняя буквы: a, b, c и A, B, C переходят друг в друга по кругу. Так для стороны b используется угол B и две образующие его стороны a и c: b² = a² + c² − 2ac·cos B. Для стороны c нужен угол C между a и b: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Правило остаётся неизменным: искомая сторона стоит одна в левой части, а угол напротив неё находится в слагаемом с косинусом.

Если известны три стороны, удобно преобразовать формулу и выразить косинус угла: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc). Так можно узнать не только величину косинуса, но и затем определить сам угол — например, с помощью таблицы значений или калькулятора. Аналогичные формулы получают для B и C, меняя обозначения. Этот способ полезен, когда угол напрямую не задан, но нужно найти его или классифицировать.

Знак найденного cos A сразу определяет вид угла A. Если cos A > 0, угол острый; если cos A = 0, он прямой; если cos A < 0, он тупой. Это следует из поведения косинуса на промежутке от 0° до 180°: после 90° его значение становится отрицательным. Поэтому вид угла можно установить даже без точного вычисления его величины.

Формулы теоремы косинусов и их применение

В таблице собраны формулы для нахождения сторон и угла. Сначала определи, что именно нужно найти, затем проверь, что известные данные соответствуют выбранной строке. Для стороны обязательно нужен угол между двумя известными сторонами; для косинуса угла нужны все три стороны.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике две стороны равны 5 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону. Угол 60° заключён между известными сторонами, значит, можно применить теорему косинусов непосредственно. Обозначим третью сторону через x.

1. Записываем формулу: x² = 5² + 7² − 2·5·7·cos 60°.
2. Подставляем cos 60° = 1/2: x² = 25 + 49 − 70·1/2 = 39.
3. Длина стороны положительна, поэтому x = √39. Значение под корнем положительное, значит, результат допустим.

Ответ: √39.

Задача 2. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите косинус угла, лежащего напротив стороны 7, и определите вид этого угла. Здесь известны все стороны, поэтому выбираем формулу для косинуса угла и обозначаем сторону напротив него буквой a. Стороны, образующие этот угол, равны 5 и 6.

1. Подставляем значения: cos A = (5² + 6² − 7²)/(2·5·6).
2. Считаем числитель и знаменатель: cos A = (25 + 36 − 49)/60 = 12/60 = 1/5.
3. Косинус положителен, следовательно, угол A острый.

Ответ: cos A = 1/5, угол острый.

Задача 3. Две стороны треугольника равны 8 и 10, угол между ними — 120°. Найдите третью сторону и объясните, почему она больше, чем при прямом угле между этими сторонами. Угол тупой, поэтому cos 120° = −1/2; знак нужно сохранить при подстановке, а не заменять косинус его модулем.

1. По теореме косинусов x² = 8² + 10² − 2·8·10·cos 120°.
2. Подставляем косинус: x² = 64 + 100 − 160·(−1/2) = 244, значит, x = √244 = 2√61.
3. При прямом угле косинус равен нулю и получилось бы x² = 64 + 100 = 164. При угле 120° квадрат стороны равен 244, потому что вычитается отрицательное слагаемое, поэтому сторона длиннее.

Ответ: 2√61; при угле 120° третья сторона длиннее, чем при прямом угле.

Типичные ошибки

Подставляют угол, который не заключён между данными сторонами. Это часто случается, когда ученик выбирает угол просто потому, что он указан в условии, не проверяя, какие стороны его образуют. В результате формула связывает несоответствующие данные. Перед вычислением отметь на схеме две стороны, образующие выбранный угол, и сравни их с множителями в формуле.

Путают сторону и противолежащий ей угол, неверно соотнося a, b, c и A, B, C. Буквы выглядят похоже, поэтому можно по ошибке взять угол, прилегающий к стороне, а не лежащий напротив неё. Это меняет и левую часть равенства, и косинус в формуле. Проверь правило: a напротив A, b напротив B, c напротив C.

Забывают множитель 2 или ставят перед слагаемым с косинусом знак плюс. Ошибка возникает при переписывании формулы или при переносе слагаемого в другую часть равенства. Сверь запись с общей формой: в формуле стороны стоит −2, умноженное на две известные стороны и косинус угла между ними. После подстановки отдельно проверь знак и все множители.

Считают косинус тупого угла положительным. Тогда ученик может ошибочно вычесть положительное число и получить слишком маленькую сторону напротив тупого угла. На промежутке от 90° до 180° косинус отрицателен, поэтому вычитание слагаемого с ним увеличивает результат. Перед вычислением определи, острый угол или тупой, и запиши знак косинуса.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой косинусов нужны теорема Пифагора, свойства углов треугольника и обозначения его сторон и углов. Теорема Пифагора помогает понять вывод формулы, а знание косинуса позволяет учитывать величину угла. Дальше теорема косинусов применяется при решении треугольников: с её помощью находят неизвестные стороны и углы. Она также связана со скалярным произведением векторов, где произведение длин векторов умножается на косинус угла между ними.

Что запомнить

• Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
• В формуле для стороны a используется угол A, лежащий напротив неё.
• При прямом угле теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.
• При тупом угле косинус отрицателен, поэтому третья сторона длиннее, чем соответствующая сторона при прямом угле.
• По трём сторонам можно найти косинус любого угла треугольника.
• Знак косинуса угла позволяет определить, острый он, прямой или тупой.