1.1. Тригонометрические функции угла от 0 до 180 градусов

Определения и обозначения

Синус угла от 0° до 180° — ордината точки единичной окружности, соответствующей этому углу. Ордината — это вторая координата точки, то есть её положение выше или ниже горизонтальной оси. Поэтому синус показывает вертикальную координату и помогает определить положение точки на окружности.

Косинус угла от 0° до 180° — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей этому углу. Абсцисса — первая координата, показывающая положение точки справа или слева от вертикальной оси. По ней удобно определять знак косинуса и находить его значение для заданного угла.

Тангенс угла — отношение синуса угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Такое отношение определено только тогда, когда cos α ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя. Определение позволяет находить тангенс, если известны синус и косинус.

Котангенс угла — отношение косинуса угла к его синусу: ctg α = cos α / sin α. Котангенс определён, только когда sin α ≠ 0. Это определение помогает вычислить его по двум координатам точки и сразу проверить, допустимо ли деление.

Как это устроено

Чтобы связать угол с точкой, проводят его из центра единичной окружности от положительного направления горизонтальной оси. При повороте от 0° до 180° конечная сторона угла проходит по верхней половине окружности, а каждому значению угла соответствует своя точка. Её горизонтальная координата по определению является косинусом, а вертикальная — синусом. Например, при 0° точка имеет координаты (1; 0), поэтому cos 0° = 1 и sin 0° = 0.

На промежутке от 0° до 180° точка лежит на верхней полуокружности, то есть не ниже горизонтальной оси. Поэтому её ордината неотрицательна, а синус положителен между концами промежутка и равен нулю на концах. Сначала точка находится справа от вертикальной оси, где абсцисса положительна. При 90° она достигает оси, абсцисса становится нулём, а после 90° точка оказывается слева, где абсцисса отрицательна.

Тангенс и котангенс получают делением координат точки, поэтому для них нужно проверять знаменатель. В tg α = sin α / cos α знаменатель равен нулю при 90°, и тангенс там не определён. В ctg α = cos α / sin α знаменатель равен нулю при 0° и 180°, поэтому котангенс в этих точках не определён. Если угол лежит между 0° и 90°, синус и косинус положительны, значит, положительны и оба их отношения.

Углы α и 180° − α симметричны относительно вертикальной оси единичной окружности. При отражении относительно этой оси вертикальная координата точки сохраняется, а горизонтальная меняет знак. Поэтому sin(180° − α) = sin α, но cos(180° − α) = −cos α. Если соответствующие функции определены, из этих равенств также следует, что тангенсы и котангенсы таких углов противоположны.

Для угла больше 90° можно сначала найти острый угол, дополняющий его до 180°, а затем применить формулы связи. Синус при таком переходе сохраняется, косинус меняет знак; после этого тангенс и котангенс вычисляют делением. Другой способ — использовать координаты точки и тождество sin² α + cos² α = 1. Например, если cos α = −3/5 и угол лежит во второй половине промежутка, то sin α = √(1 − 9/25) = 4/5, поскольку синус там положителен.

Тригонометрические функции угла от 0° до 180°

В строках со знаками рассматриваются углы строго внутри указанных промежутков, без граничных значений. Чтобы проверить, определена ли функция, найдите её в столбце и проверьте знаменатель соответствующего отношения. Формулы последней строки помогают свести вычисление функции угла больше 90° к вычислению для острого угла.

Разбор задач

Задача 1. Найдите sin 150°, cos 150°, tg 150° и ctg 150°. Угол 150° можно представить как 180° − 30°, поэтому удобнее использовать значения функций для 30°. При этом нужно учесть, что 150° лежит во второй половине промежутка, где косинус отрицателен.

1. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.
2. cos 150° = −cos 30° = −√3/2.
3. tg 150° = sin 150° / cos 150° = (1/2) / (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
4. ctg 150° = cos 150° / sin 150° = (−√3/2) / (1/2) = −√3.

В ответе у синуса положительный знак, а у косинуса, тангенса и котангенса — отрицательный. Это согласуется с расположением точки во второй половине промежутка. Ответ: sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2, tg 150° = −√3/3, ctg 150° = −√3.

Задача 2. Известно, что cos α = −3/5 и 90° < α < 180°. Найдите sin α, tg α и ctg α. Сначала используем тождество sin² α + cos² α = 1, чтобы найти синус. Затем определим его знак по промежутку: угол находится во второй половине, где ордината точки положительна.

1. sin² α = 1 − cos² α = 1 − 9/25 = 16/25, поэтому sin α = 4/5.
2. tg α = sin α / cos α = (4/5) / (−3/5) = −4/3.
3. ctg α = cos α / sin α = (−3/5) / (4/5) = −3/4.

Корень при нахождении синуса берём положительный не произвольно, а потому что синус на этом промежутке положителен. Отношения дают отрицательные значения: числитель и знаменатель у каждого из них имеют разные знаки. Ответ: sin α = 4/5, tg α = −4/3, ctg α = −3/4.

Задача 3. Для угла α от 0° до 180° известно, что sin α = 1/2. Найдите все возможные значения α и соответствующие значения cos α, tg α и ctg α. На единичной окружности ордината 1/2 встречается в двух точках верхней полуокружности. Это углы 30° и 150°; для них синус одинаков, а косинус имеет разные знаки.

1. Первый угол: α = 30°. Тогда cos α = √3/2, tg α = (1/2)/(√3/2) = √3/3, ctg α = (√3/2)/(1/2) = √3.
2. Второй угол: α = 150°. Тогда cos α = −√3/2, tg α = −√3/3, ctg α = −√3.

Оба угла подходят, потому что лежат в заданном промежутке и имеют синус 1/2. Тангенс и котангенс меняют знак вместе с косинусом, так как синус в обоих случаях положителен. Ответ: α = 30°: cos α = √3/2, tg α = √3/3, ctg α = √3; α = 150°: cos α = −√3/2, tg α = −√3/3, ctg α = −√3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать косинус угла между 90° и 180° положительным. Так происходит, если ориентироваться только на знакомые значения острых углов, не учитывая положение точки. Во второй половине промежутка точка находится слева от вертикальной оси, поэтому её абсцисса и косинус отрицательны. Проверьте знак по координате точки или по тому, что cos(180° − α) = −cos α.

Ошибка: считать тангенс угла 90° числом, например пытаться делить 1 на 0. В определении tg α = sin α / cos α при 90° знаменатель равен нулю, а деление на ноль не определено. Иногда путают это с тем, что синус при 90° существует и равен 1. Перед вычислением тангенса обязательно проверьте, не равен ли косинус нулю.

Ошибка: считать котангенс при 0° или 180° определённым. В этих случаях косинус существует, но синус равен нулю и стоит в знаменателе ctg α = cos α / sin α. Поэтому котангенс в обоих концах промежутка не определён. Самопроверка проста: подставьте угол в знаменатель, а не только в числитель.

Ошибка: менять местами формулы тангенса и котангенса. Их отношения обратны: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α. Путаница обычно возникает из-за того, что обе функции вычисляют по одним и тем же координатам. Запишите обозначение перед подстановкой и проверьте, какой именно знаменатель должен быть отличен от нуля.

Связь с другими темами

Для работы с единичной окружностью нужны знания о координатах точек и градусной мере угла. Значения функций острых углов помогают быстро находить значения для углов от 90° до 180° с помощью связей для α и 180° − α. Это расширяет привычные вычисления и позволяет учитывать знак функции по положению точки.

Тригонометрические функции углов от 0° до 180° применяются при решении треугольников: по ним связывают углы и стороны. Позже те же функции встречаются в тригонометрических уравнениях, где важно знать их значения, знаки и область определения. Умение проверять, где функция определена, помогает отсеивать недопустимые решения.

Что запомнить

• На единичной окружности cos α — абсцисса, а sin α — ордината точки.
• Для 0° < α < 180° синус положителен.
• Косинус положителен при 0° < α < 90° и отрицателен при 90° < α < 180°.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α.