"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Теорема косинусов связывает длины сторон треугольника с косинусом угла между двумя из них. С её помощью можно найти неизвестную сторону, если известны две другие стороны и угол между ними, или вычислить угол по трём сторонам. Главное — не перепутать угол и противолежащую ему сторону: в формуле для квадрата стороны стоит косинус угла напротив неё. При прямом угле теорема превращается в теорему Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема косинусов утверждает: если в треугольнике стороны равны a, b, c, а угол γ лежит напротив стороны c, то c² = a² + b² − 2ab cos γ. Здесь cos γ — косинус угла γ, число, зависящее от величины угла. Формула связывает три стороны и угол между двумя сторонами, поэтому помогает находить неизвестные элементы треугольника.
Стороны и противолежащие им углы обозначают парами: сторона a лежит напротив угла α, сторона b — напротив β, а сторона c — напротив γ. «Противолежащий» значит расположенный напротив стороны, а не рядом с ней. Такое соответствие нужно соблюдать, чтобы подставлять в формулу правильный угол: для стороны c это γ.
Если известны a, b и γ, сначала можно вычислить квадрат стороны c по теореме, а затем извлечь корень: c = √(a² + b² − 2ab cos γ). Берут неотрицательный квадратный корень, потому что длина стороны не может быть отрицательной. Эта запись удобна, когда в задаче требуется сразу найти длину, а не её квадрат.
Для любой стороны действует одно правило: её квадрат равен сумме квадратов двух остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, для c используется угол γ, поскольку он лежит напротив c и одновременно расположен между сторонами a и b. Причина такого соответствия становится ясна при выводе формулы через высоту.
Опустим из вершины угла γ высоту на сторону b и обозначим её длину h. Проекция стороны a на прямую, содержащую b, равна a cos γ, а высота равна a sin γ. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника получаем h² = a² − a² cos² γ. Для стороны c другой прямоугольный треугольник даёт c² = h² + (b − a cos γ)².
Подставим выражение для h²: c² = a² − a² cos² γ + b² − 2ab cos γ + a² cos² γ. Слагаемые с a² cos² γ сокращаются, и остаётся c² = a² + b² − 2ab cos γ. Если проекция падает на продолжение стороны, выражение для отрезка на прямой меняет знак, но итоговая формула сохраняется: косинус тупого угла отрицателен.
Чтобы получить формулу для другой стороны, достаточно переименовать стороны и противолежащий угол. Для a квадратами складываются b и c, а угол между ними — α, поэтому a² = b² + c² − 2bc cos α. Для b аналогично получаем b² = a² + c² − 2ac cos β. Перестановка обозначений работает потому, что исходное правило одинаково для каждой стороны.
Если известны все три стороны, равенство для c можно преобразовать: переносим c² в левую часть, а слагаемое с косинусом — в правую, затем делим на 2ab. Получается cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab). По найденному значению косинуса определяют сам угол с помощью таблицы или обратной функции на калькуляторе, выбирая угол от 0° до 180°.
При γ = 90° косинус равен нулю, поэтому слагаемое 2ab cos γ исчезает. Остаётся c² = a² + b² — теорема Пифагора для прямоугольного треугольника. Значит, теорема косинусов не заменяет теорему Пифагора, а распространяет её на треугольники с любыми углами.
| Что найти | Формула |
|---|---|
| Сторону c по сторонам a, b и углу γ | c² = a² + b² − 2ab cos γ |
| Сторону a по сторонам b, c и углу α | a² = b² + c² − 2bc cos α |
| Сторону b по сторонам a, c и углу β | b² = a² + c² − 2ac cos β |
| Косинус угла γ по трём сторонам | cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) |
Сначала определите, что требуется найти, и выберите соответствующую строку. Затем проверьте, что угол и стороны в формуле стоят на своих местах: угол напротив искомой стороны, а две другие стороны входят в произведение. Если нужен угол, по формуле находят его косинус, а потом сам угол.
Ответ: √39 см, или примерно 6,24 см.
Ответ: 90°.
Ответ: BC = √193 см ≈ 13,89 см; угол B острый.
Подставляют угол, который не заключён между известными сторонами. Так бывает, когда выбирают угол просто по рисунку, не проверив его положение; в формуле для третьей стороны нужен именно угол между двумя известными сторонами. Перед вычислением подпишите стороны и отметьте, какой угол расположен между ними.
Путают противолежащую сторону и угол, например ставят cos α в формулу для c². Ошибка возникает, если считать буквы углов и сторон независимыми обозначениями, хотя они образуют пары a и α, b и β, c и γ. Проверьте, что косинус в формуле относится к углу напротив искомой стороны.
Теряют минус перед 2ab cos γ или считают косинус тупого угла положительным. Обычно это происходит при спешке или при подстановке без проверки знака; для тупого угла косинус отрицателен. Запишите значение косинуса в скобках и отдельно проверьте знак результата: вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
При поиске угла останавливаются на значении его косинуса или выбирают угол неверного диапазона. Число cos γ — ещё не сам угол, поэтому после вычисления нужно обратиться к таблице либо калькулятору. Угол треугольника должен находиться между 0° и 180°; также проверьте, соответствует ли знак косинуса острому, прямому или тупому углу.
Для вывода теоремы косинусов нужны теорема Пифагора и представление о синусе и косинусе угла: высота и проекция стороны выражаются через эти функции. Также важно уметь преобразовывать равенства и извлекать квадратный корень. Теорема пригодится при решении треугольников, когда данных недостаточно для прямого применения теоремы Пифагора, а также при нахождении расстояний и углов по известным сторонам.
Как понять, какой угол подставлять в теорему косинусов?
Если ищете сторону, подставьте угол между двумя известными сторонами. Например, для c² = a² + b² − 2ab cos γ нужен угол γ, лежащий напротив стороны c. Если ищете угол, используйте формулу для его косинуса по трём сторонам.
Почему в формуле стоит знак минус?
Знак минус возникает при выводе теоремы через проекцию стороны на другую сторону и теорему Пифагора. Для острого угла косинус положителен, поэтому вычитаемое уменьшает квадрат третьей стороны. Это согласуется с тем, что при увеличении угла между сторонами третья сторона обычно становится длиннее только после 90°.
Как найти угол треугольника, если известны все три стороны?
Сначала выразите косинус нужного угла, например cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab). Затем найдите угол по таблице значений или с помощью обратной функции на калькуляторе. Выбирайте именно угол треугольника от 0° до 180°.
Что меняется в формуле, если угол тупой?
Косинус тупого угла отрицателен. Поэтому в выражении a² + b² − 2ab cos γ фактически прибавляется положительное число, и квадрат противоположной стороны оказывается больше суммы квадратов двух других сторон.
Как связаны теорема косинусов и теорема Пифагора?
Если угол между сторонами прямой, его косинус равен нулю. Слагаемое с косинусом исчезает, и формула принимает вид c² = a² + b² — это теорема Пифагора.
§ 21. Теорема косинусов
