§ 20. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение двух векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a·b = |a||b|cos α. Обозначение «·» показывает именно эту операцию. Она нужна, чтобы по векторам находить углы и проверять их взаимное расположение.

Угол между ненулевыми векторами — угол от 0° до 180°, образованный их равными и сонаправленными копиями с общим началом. Такой способ позволяет сравнивать направления векторов независимо от того, где они расположены. Нулевой вектор угла не имеет.

Ортогональные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Для них cos 90° = 0, поэтому a·b = 0. Это определение удобно применять в координатах: вместо построения прямого угла достаточно проверить вычислением.

Координатная формула: если a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂), то a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Перемножаются координаты, стоящие на одинаковых местах, а затем результаты складываются. Формула особенно полезна, когда угол и длины непосредственно не заданы.

Как это устроено

Чтобы определить угол между векторами, перенесём их параллельным переносом так, чтобы начала совпали. Параллельный перенос сохраняет длину и направление, поэтому полученный угол зависит только от самих векторов, а не от места их расположения. Если взять другие равные копии и снова совместить начала, стороны угла будут параллельны прежним и сонаправлены, значит, величина угла останется той же.

Связь с проекцией объясняет сам вид формулы. Если спроецировать вектор a на направление b, длина его направленной проекции равна |a|cos α. Умножение этой величины на |b| даёт |a||b|cos α, то есть скалярное произведение: оно показывает, насколько один вектор направлен вдоль другого с учётом масштаба.

Формулу для суммы можно получить из теоремы косинусов. В треугольнике, составленном из a и b, квадрат длины суммы равен |a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cos α. Так как a·b = |a||b|cos α, получаем (a + b)² = a² + 2a·b + b², где a² означает a·a.

Для координат разложим векторы по взаимно перпендикулярным осям: a = x₁i + y₁j, b = x₂i + y₂j. Единичные направления i и j имеют произведение 1 сами на себя и 0 друг на друга, потому что оси перпендикулярны. Поэтому после раскрытия скобок остаются только x₁x₂ и y₁y₂, и получается a·b = x₁x₂ + y₁y₂.

Знак произведения определяется знаком косинуса. При остром угле косинус положителен, при 90° равен нулю, а при тупом угле отрицателен. Значит, по знаку результата можно определить вид угла, даже не находя его величину.

Способы вычисления и основные следствия для скалярного произведения

Выбирайте строку таблицы по данным задачи: если известны длины и угол, удобнее первая формула, а при заданных координатах — вторая. Для проверки перпендикулярности достаточно воспользоваться условием нулевого произведения. Последняя строка позволяет восстановить угол, если известны координаты или другие характеристики векторов.

Разбор задач

Задача 1

Условие: найдите скалярное произведение векторов длинами 5 и 4, если угол между ними равен 60°. Здесь уже известны все величины из определения, поэтому координаты искать не требуется.

1. Запишем формулу: a·b = |a||b|cos α.
2. Подставим данные: a·b = 5 · 4 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получаем 20 · ½ = 10.

Ответ: a·b = 10.

Задача 2

Условие: a = (2, −3), b = (4, 1). Найдите их скалярное произведение и определите, острый или тупой угол они образуют. Сначала применим координатную формулу, а затем используем знак результата.

1. Перемножим соответствующие координаты: 2 · 4 и (−3) · 1.
2. Сложим произведения: a·b = 2 · 4 + (−3) · 1 = 8 − 3 = 5.
3. Результат положителен, значит косинус угла положителен и угол острый.

Ответ: a·b = 5; угол острый.

Задача 3

Условие: найдите k, при котором векторы (k, 2) и (3, −6) перпендикулярны. Для ненулевых перпендикулярных векторов скалярное произведение должно быть равно нулю.

1. Вычислим произведение по координатам: k · 3 + 2 · (−6).
2. Приравняем его к нулю: 3k − 12 = 0.
3. Отсюда 3k = 12, поэтому k = 4.

Ответ: k = 4. При этом векторы имеют произведение 4 · 3 + 2 · (−6) = 0.

Типичные ошибки

Путать скалярное и векторное произведение. Скалярное произведение даёт число, а не новый вектор, поэтому результатом не могут быть координаты. Проверьте себя: после вычислений должна получиться одна величина без направления.

Неверно перемножать координаты. Иногда берут x₁y₂ и y₁x₂ или забывают сложить два произведения. Сверяйте пары: x₁ умножается на x₂, y₁ — на y₂, затем ставится знак суммы.

Считать нулевое произведение признаком нулевого вектора. Нулевой результат бывает и у двух ненулевых перпендикулярных векторов. Проверьте длины: если оба вектора ненулевые, равенство произведения нулю означает их перпендикулярность.

Ошибаться со знаком при тупом угле. Косинус тупого угла отрицателен, поэтому и скалярное произведение отрицательно. Для самопроверки сопоставьте знак результата с видом угла: острый — плюс, прямой — ноль, тупой — минус.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия вектора, его длины, координат и угла между векторами. Длина вектора связывает скалярное произведение с расстояниями, а координаты дают быстрый способ вычислений.

Скалярное произведение используется для проверки перпендикулярности и нахождения угла между векторами. Оно также помогает решать координатные задачи, где геометрические свойства переводятся в алгебраические равенства.

Что запомнить

• Скалярное произведение — число.
• a·b = |a||b|cos α.
• По координатам: a·b = x₁x₂ + y₁y₂.
• a·a = |a|².
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Знак произведения совпадает со знаком косинуса угла между векторами.