2.2. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярным произведением векторов a и b называют число, равное произведению их длин на косинус угла φ между ними: a · b = |a||b| cos φ. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а символ · обозначает скалярное умножение. Результат — число, поэтому по нему можно судить о взаимном направлении векторов.

Угол между двумя ненулевыми векторами определяют, совместив их начала; величина этого угла находится от 0° до 180°. Для сонаправленных векторов угол равен 0°, для противоположно направленных — 180°, а для перпендикулярных — 90°. Такое определение позволяет применять косинус угла в формуле независимо от того, где были расположены векторы первоначально.

Скалярным квадратом вектора a называют скалярное произведение вектора на себя и обозначают a²: a² = a · a. По определению это произведение |a||a| cos 0°, а cos 0° = 1, поэтому a² = |a|². Обозначение удобно, когда нужно связать вычисление произведения с длиной вектора.

Если a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂), то на плоскости a · b = x₁x₂ + y₁y₂. В пространстве для a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂) формула имеет вид a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Она нужна, когда векторы заданы координатами и их угол заранее неизвестен.

Как это устроено

В формуле присутствуют и длины, и косинус угла, потому что произведение должно учитывать сразу две особенности векторов. Длины показывают масштаб каждого вектора, а косинус отражает, насколько согласованы их направления. При одинаковых длинах изменение угла меняет скалярное произведение, а при фиксированном угле увеличение длины меняет его величину.

Знак произведения объясняется поведением косинуса на промежутке от 0° до 180°. При остром угле косинус положителен, при прямом равен нулю, а при тупом становится отрицательным. Поэтому знак сразу подсказывает, какой угол образуют ненулевые векторы, хотя саму величину угла он не сообщает.

Скалярное произведение можно переставлять местами: a · b = b · a. Это следует из того, что длины не меняются при перестановке, а угол между векторами один и тот же. Распределительность относительно сложения, (a + b) · c = a · c + b · c, связана с тем, что вклад суммы векторов в направление c складывается из вкладов каждого слагаемого.

Числовой множитель можно вынести: (ka) · b = k(a · b), и аналогичное правило действует для множителя у второго вектора. При положительном k длина ka увеличивается в k раз, а направление сохраняется; при отрицательном меняется и направление, что учитывает знак множителя. Эти свойства упрощают преобразования выражений, прежде чем подставлять конкретные числа.

Для скалярного квадрата получается a · a = |a|², поскольку угол вектора с самим собой равен 0°, а cos 0° = 1. Квадрат длины неотрицателен, значит, неотрицателен и скалярный квадрат; он равен нулю только для нулевого вектора. Если известно произведение вектора на себя, длину можно восстановить как |a| = √(a · a).

Координатная формула позволяет найти произведение непосредственно по компонентам: достаточно перемножить соответствующие координаты и сложить результаты. Она получается из формулы через длины и угол, если выразить векторы через взаимно перпендикулярные координатные направления. Для ненулевых векторов условие перпендикулярности тогда принимает простой вид a · b = 0; по координатам это равенство соответствующих произведений с их суммой.

Скалярное произведение: определения, формулы и следствия

Сначала найдите, какие данные задачи известны: координаты либо длины и угол. Затем выберите соответствующую строку и вычислите скалярное произведение или примените указанное условие. Если задача спрашивает угол, одного значения произведения недостаточно: понадобятся также длины векторов.

Разбор задач

Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов длинами 4 и 5, если угол между ними равен 60°. Известны обе длины и угол, поэтому подходит определение, а не координатная формула. Нужно подставить данные и значение cos 60°.

1. Записываем формулу: a · b = |a||b| cos φ.
2. Подставляем: a · b = 4 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получаем 4 · 5 · ½ = 10.

Ответ: 10. Результат положителен, что согласуется с острым углом между векторами.

Задача 2. Вычислите скалярное произведение a = (2; −1) и b = (3; 4), затем определите, острый или тупой угол они образуют. По координатам можно сразу найти произведение, не вычисляя ни длины, ни угол. После этого знак результата укажет тип угла.

1. Используем формулу для плоскости: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
2. Подставляем координаты: a · b = 2 · 3 + (−1) · 4 = 6 − 4 = 2.
3. Число 2 положительно, значит, косинус угла положителен и угол острый.

Ответ: a · b = 2, угол острый. Проверка знака помогает убедиться, что вывод об угле соответствует результату вычисления.

Задача 3. Найдите косинус угла между a = (1; 2; 2) и b = (2; 1; −2), а затем определите сам угол. В пространстве применяем формулу с тремя координатами, а затем делим произведение на произведение длин. Полученный косинус нужно проверить: он должен находиться от −1 до 1.

1. Вычисляем произведение: a · b = 1 · 2 + 2 · 1 + 2 · (−2) = 2 + 2 − 4 = 0.
2. Находим длины: |a| = √(1² + 2² + 2²) = 3; |b| = √(2² + 1² + (−2)²) = 3.
3. Подставляем: cos φ = 0 / (3 · 3) = 0. Значение допустимо, поскольку лежит в пределах от −1 до 1.
4. Косинус равен нулю при φ = 90°, поэтому векторы перпендикулярны.

Ответ: cos φ = 0, угол равен 90°. Ненулевые длины подтверждают, что угол между векторами определён.

Типичные ошибки

• Считать результат вектором. Так путают скалярное произведение с другими действиями над векторами, поскольку в обоих случаях исходные объекты — векторы. Здесь ответ всегда число; проверка проста: координаты результирующего вектора находить не требуется.

• Перемножать только длины. Это забывают сделать, когда угол кажется несущественным, но длины не показывают, совпадают ли направления. Произведение длин без косинуса верно лишь при угле 0°; перед вычислением проверьте, учтён ли угол.

• Неверно определять знак при тупом угле. Ошибка возникает, если не учитывать, что косинус тупого угла отрицателен. При проверке сравните знак результата с углом: для тупого он должен быть отрицательным, для острого — положительным.

• По нулевому произведению сразу объявлять векторы перпендикулярными. Такое рассуждение упускает нулевой вектор, угол с которым не определён. Условие a · b = 0 означает перпендикулярность только при ненулевых векторах; проверьте их длины.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны длина и координаты вектора, сложение векторов, понятие угла и значения косинуса. Эти знания позволяют выбирать между формулой через длины и угол и вычислением по координатам. Полученное произведение, в свою очередь, помогает находить угол между векторами, проверять их перпендикулярность и решать задачи в координатах. Поэтому тема соединяет геометрические рассуждения с вычислениями.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.
• Скалярное произведение — число.
• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
• Знак скалярного произведения определяется величиной угла между ненулевыми векторами.
• В координатах скалярное произведение находят сложением произведений соответствующих координат.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.