8.7. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Углом между ненулевыми векторами называют угол от 0° до 180°, который получается, если совместить их начала. Так можно сравнивать направления векторов независимо от того, где они были расположены. Угол обозначают, например, φ. Для нулевого вектора такое определение угла не используют.

Скалярное произведение векторов a и b — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a · b = |a||b| cos φ. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а cos φ показывает, насколько их направления согласованы. Определение помогает вычислять произведение, если известны длины и угол.

В ортонормированной системе координат скалярное произведение находят как сумму произведений соответствующих координат: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Ортонормированной называют систему, в которой оси взаимно перпендикулярны, а единичные отрезки задают одинаковый масштаб. Эта формула удобна, когда векторы заданы координатами, а угол между ними неизвестен.

Скалярным квадратом вектора a называют его скалярное произведение на себя: a · a. По определению угла это произведение равно |a||a| cos 0° = |a|². Связь позволяет находить длину вектора по его координатам и проверять вычисления с помощью величины, которая не может быть отрицательной.

Как это устроено

В определении участвуют длины векторов и косинус угла, потому что скалярное произведение учитывает не только размеры, но и взаимное направление. При угле меньше 90° косинус положителен, значит, произведение положительно; при угле больше 90° косинус отрицателен, значит, произведение отрицательно. Если угол прямой, cos 90° = 0, поэтому произведение равно нулю. Это объясняет, почему один знак позволяет судить о виде угла.

Чтобы получить координатную формулу, разложим векторы по единичным векторам e₁, e₂, e₃ вдоль взаимно перпендикулярных осей: a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ и b = b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃. Раскроем произведение распределительно. Произведения разных единичных векторов равны нулю, поскольку направления перпендикулярны; произведение каждого единичного вектора на себя равно 1. Поэтому остаются только a₁b₁, a₂b₂ и a₃b₃, а их сумма и есть координатная формула.

Переместительность следует из определения: |a||b| и cos φ не меняются, если поменять векторы местами, поэтому a · b = b · a. Распределительность относительно сложения видна из координатной формулы: координата суммы — сумма соответствующих координат, и после раскрытия скобок получаются a · b + a · c. По той же причине числовой множитель выносится: (ka) · b = k(a · b). Эти свойства позволяют преобразовывать выражения до подстановки чисел.

Если умножить вектор на себя, угол между ним и самим собой равен 0°, а cos 0° = 1. Поэтому a · a = |a|², а не просто величина, связанная с длиной. Для координатного вектора это даёт a · a = a₁² + a₂² + a₃²; извлекая квадратный корень, получаем |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Так длина в пространстве находится тем же способом, что и по теореме Пифагора.

Из геометрического определения можно выразить косинус угла: cos φ = (a · b) / (|a||b|), если оба вектора ненулевые. Зная косинус, находят угол, а по знаку произведения сразу устанавливают, острый он, тупой или прямой. В частности, при перпендикулярности cos φ = 0 и произведение равно нулю; обратное тоже верно для ненулевых векторов. Поэтому условие a · b = 0 удобно проверять по координатам.

Скалярное произведение: основные формулы и свойства

Если известны угол и длины, выбирайте геометрическую формулу; если заданы координаты — считайте сумму попарных произведений. Для длины используйте скалярный квадрат, а для угла сначала найдите косинус. Перед вычислением угла убедитесь, что длины векторов не равны нулю.

Разбор задач

Задача 1. Длины двух векторов равны 4 и 5, угол между ними равен 60°. Найдём их скалярное произведение. Здесь координаты не нужны: все данные для определения через угол уже известны. Косинус 60° равен ½.

1. Запишем формулу: a · b = |a||b| cos φ.
2. Подставим данные: a · b = 4 · 5 · cos 60°.
3. Вычислим: 20 · ½ = 10.

Ответ: 10. Положительный результат согласуется с острым углом между векторами.

Задача 2. Даны a = (2; −1; 3) и b = (1; 4; −2). Найдём произведение и определим, острый или тупой угол они образуют. Для координатного способа перемножаем координаты, стоящие на одинаковых местах, а затем складываем результаты. Знак итогового числа покажет вид угла.

1. Составим сумму: a · b = 2 · 1 + (−1) · 4 + 3 · (−2).
2. Вычислим слагаемые: 2 − 4 − 6 = −8.
3. Произведение отрицательно, следовательно, косинус угла отрицателен и угол тупой.

Ответ: a · b = −8; векторы образуют тупой угол. Для определения его точной величины понадобились бы ещё длины обоих векторов.

Задача 3. Найдём m, при котором a = (m; 2; −1) и b = (3; −1; 4) перпендикулярны. Условие перпендикулярности ненулевых векторов — нулевое скалярное произведение. Поэтому сначала составим произведение через координаты, а затем решим линейное уравнение.

1. Запишем произведение: a · b = 3m + 2 · (−1) + (−1) · 4.
2. Приравняем его к нулю: 3m − 2 − 4 = 0, то есть 3m − 6 = 0.
3. Решим уравнение: 3m = 6, значит, m = 2.

Ответ: m = 2. При этом произведение равно нулю, поэтому векторы перпендикулярны.

Типичные ошибки

При вычислении по координатам иногда перемножают координаты, стоящие на разных местах, или пропускают одно слагаемое. Причина обычно в спешке при записи суммы. Проверяйте, что каждый элемент первого вектора умножен на координату с тем же номером второго, а число слагаемых совпадает с числом координат.

Нулевое скалярное произведение иногда принимают за доказательство того, что один из векторов нулевой. Это смешение самого вектора и результата операции: ноль здесь — число, которое может получиться и у двух ненулевых перпендикулярных векторов. Проверьте длины отдельно; если обе положительны, нулевое произведение означает прямой угол.

Скалярное произведение путают с векторным, ожидая получить новый вектор. Но его определение даёт число: в формуле стоят длины и косинус, а в координатном вычислении получается сумма чисел. Перед ответом посмотрите на тип результата: записывайте число, без координат и стрелки над ним.

При поиске угла могут забыть разделить произведение на обе длины или принять результат за сам угол. По формуле сначала находят cos φ = (a · b) / (|a||b|), а уже потом определяют φ. Косинус любого действительного угла должен лежать от −1 до 1; если вышло иначе, проверьте вычисления и убедитесь, что длины не пропущены.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны понятия вектора, его длины, координат и угла между векторами. Координатная формула опирается на разложение векторов по взаимно перпендикулярным направлениям, а формула длины связана с теоремой Пифагора. Эти знания позволяют переходить от геометрического описания к вычислениям.

Скалярное произведение помогает находить углы и длины, проверять перпендикулярность и решать задачи аналитической геометрии. В дальнейшем его используют при исследовании прямых и плоскостей: например, чтобы проверить взаимную перпендикулярность направлений. Поэтому полезно уверенно применять обе формы — через угол и через координаты.

Что запомнить

• a · b = |a||b| cos φ, где φ — угол между ненулевыми векторами.
• В ортонормированной системе координат a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
• a · a = |a|².
• a · b = b · a.
• a · (b + c) = a · b + a · c.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.