8.6. Теорема о единственности представления любого вектора в пространстве через три некомпланарных вектора

Определения и обозначения

Вектор в пространстве — это направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Его обозначают, например, a⃗ или AB⃗, если начало и конец заданы точками A и B. Векторы складывают по правилу треугольника: к концу первого переносят начало второго, а сумма соединяет начало первого с концом второго. При умножении вектора на число его длина умножается на модуль этого числа, а отрицательный множитель меняет направление; эти действия позволяют строить выражения из нескольких векторов.

Компланарные векторы — это векторы, которые можно расположить в одной плоскости; три вектора некомпланарны, если их нельзя поместить в одну плоскость. Для проверки можно перенести все три вектора так, чтобы их начала совпали: концы компланарных векторов окажутся в одной плоскости вместе с началом. Некомпланарность нужна в теореме как условие, которое отличает три независимых направления от направлений, уже лежащих в одной плоскости.

Разложить вектор по трём векторам — значит представить его в виде линейной комбинации, то есть суммы исходных векторов, умноженных на числовые коэффициенты. Например, запись m⃗ = 2a⃗ − b⃗ + 3c⃗ означает, что m⃗ составлен из двух векторов a⃗, одного вектора −b⃗ и трёх векторов c⃗. Коэффициенты показывают, насколько каждый из трёх векторов участвует в разложении. Именно их существование и единственность утверждает теорема.

Как это устроено

Три некомпланарных вектора задают три независимых направления: ни один из них нельзя получить сложением двух других с числовыми множителями. Если перенести их начала в одну точку, векторы не окажутся в общей плоскости. Поэтому два направления не могут заменить третье: два вектора задают плоскость, а третий выходит из неё. В пространстве перемещение может идти во всех трёх направлениях, и такая тройка позволяет учитывать каждую составляющую.

Представить построение можно на примере перемещения из общего начала O к точке M. Сначала проведём через M плоскость, параллельную плоскости, натянутой на a⃗ и b⃗; её пересечение с направлением c⃗ задаёт третью составляющую перемещения. Затем оставшийся вектор в плоскости a⃗ и b⃗ можно разложить по этим двум векторам, поскольку они неколлинеарны. Получается сумма трёх векторов, параллельных a⃗, b⃗ и c⃗; каждый из них выражается умножением соответствующего вектора на число. Так возникает разложение исходного вектора.

Теорема формулируется так: любой вектор пространства представляется через три заданных некомпланарных вектора, причём такое представление единственно. В записи m⃗ = x a⃗ + y b⃗ + z c⃗ числа x, y и z называют коэффициентами разложения. Существование означает, что подходящие числа можно найти для любого m⃗. Единственность означает, что нельзя подобрать другую тройку чисел, которая для тех же a⃗, b⃗ и c⃗ дала бы тот же вектор.

Докажем единственность. Пусть один и тот же вектор m⃗ записан как x a⃗ + y b⃗ + z c⃗ и как x₁a⃗ + y₁b⃗ + z₁c⃗. Вычтем одно равенство из другого и сгруппируем слагаемые: (x − x₁)a⃗ + (y − y₁)b⃗ + (z − z₁)c⃗ = 0⃗. Если хотя бы один коэффициент отличался бы от нуля, векторы оказались бы зависимыми и лежали бы в одной плоскости; это противоречит некомпланарности. Значит, x = x₁, y = y₁ и z = z₁.

Коэффициенты разложения определяются не только самим вектором, но и выбранной тройкой. Если заменить направляющие векторы, могут измениться и числа в записи того же вектора. Однако после того, как некомпланарная тройка зафиксирована, коэффициенты уже определены однозначно. Поэтому при сравнении двух разложений важно, чтобы в обеих записях использовались одни и те же векторы.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

Сначала проверьте, выполнено ли условие некомпланарности: только тогда теорема гарантирует разложение любого вектора. Если сравниваются два разложения по одной и той же такой тройке, можно использовать единственность и приравнивать коэффициенты. Последняя строка таблицы напоминает, что для компланарной тройки такое общее утверждение делать нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Даны три некомпланарных вектора a⃗, b⃗, c⃗. Запишите вектор m⃗, если m⃗ = 2a⃗ − b⃗ + 3c⃗. Здесь нужно определить коэффициенты разложения и прочитать их в порядке заданных векторов. Поскольку равенство уже дано, искать или вычислять коэффициенты не требуется.

1. Сопоставим с общей записью m⃗ = x a⃗ + y b⃗ + z c⃗.
2. При a⃗ коэффициент равен 2, при b⃗ — −1, при c⃗ — 3.
3. Запишем вектор как сумму соответствующих кратных: m⃗ = 2a⃗ + (−1)b⃗ + 3c⃗.

Ответ: коэффициенты разложения равны 2, −1 и 3. Минус перед b⃗ означает, что в сумму входит вектор, направленный противоположно b⃗. Условие некомпланарности здесь гарантирует, что такое разложение относительно этой тройки единственно.

Задача 2

Векторы a⃗, b⃗, c⃗ некомпланарны, причём x a⃗ + 2b⃗ − c⃗ = 3a⃗ + y b⃗ + z c⃗. Нужно найти x, y и z. Обе части уже записаны через одну и ту же некомпланарную тройку, поэтому по теореме единственности коэффициенты при соответствующих векторах должны совпасть. Без этого условия просто приравнивать коэффициенты было бы нельзя.

1. Сравним коэффициенты при a⃗: x = 3.
2. При b⃗ получаем 2 = y, значит, y = 2.
3. При c⃗ имеем −1 = z, значит, z = −1.

Ответ: x = 3, y = 2, z = −1. Проверка состоит в подстановке этих значений: обе части станут равны 3a⃗ + 2b⃗ − c⃗. Равенство подтверждает найденные числа, а единственность объясняет, почему других значений нет.

Задача 3

Векторы a⃗, b⃗, c⃗ некомпланарны. Докажите, что из равенства 2a⃗ − 3b⃗ + c⃗ = λa⃗ + μb⃗ + νc⃗ следует λ = 2, μ = −3, ν = 1. Здесь левая часть уже задаёт одно разложение вектора, а правая — возможное второе. Значит, задачу удобно решать не вычислениями, а применением единственности.

1. Рассмотрим обе части равенства как разложения одного вектора по a⃗, b⃗ и c⃗.
2. Так как эти векторы некомпланарны, разложение по ним единственно.
3. Приравняем коэффициенты при одинаковых векторах: λ = 2, μ = −3, ν = 1.

Ответ: λ = 2, μ = −3, ν = 1. Можно также перенести правую часть в левую: (2 − λ)a⃗ + (−3 − μ)b⃗ + (1 − ν)c⃗ = 0⃗. Некомпланарность означает, что все коэффициенты этой нулевой комбинации равны нулю, что даёт те же значения.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любой вектор можно разложить по любой тройке. Это утверждение верно лишь для некомпланарных векторов, поскольку компланарная тройка не задаёт третье направление. Ошибку допускают, если запоминают вывод теоремы, забывая её условие. Проверяйте, указана ли некомпланарность и действительно ли векторы не лежат в одной плоскости.

Ошибка: принять существование разложения за доказательство его единственности. Найденная запись показывает только, что вектор можно представить хотя бы одним способом. Чтобы исключить другие способы, нужно сравнить два разложения и использовать некомпланарность. Проверяйте, обосновано ли, почему коэффициенты не могут измениться.

Ошибка: приравнивать коэффициенты в любом равенстве векторов. Такой переход допустим, когда обе части выражены через одну и ту же фиксированную некомпланарную тройку; иначе нужное основание отсутствует. Его часто пропускают, потому что рассуждение похоже на сравнение коэффициентов в обычном алгебраическом выражении. Перед сравнением назовите теорему, которая гарантирует единственность.

Ошибка: считать коэффициенты неизменными при замене направляющих векторов. Они относятся к выбранной тройке, а при другой тройке представление может иметь другие числа. Путаница возникает, если коэффициенты воспринимают как свойства самого вектора, а не его записи. Проверяйте, что в сравниваемых разложениях совпадают все три вектора.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны сложение векторов, умножение вектора на число и понятие компланарности. Первые два действия позволяют составлять линейные комбинации, а компланарность помогает проверить условие теоремы. Без них нельзя правильно прочитать разложение или обосновать его единственность.

Теорема пригодится при введении координат в пространстве: выбранные три некомпланарных вектора задают направления, а коэффициенты разложения выступают координатами вектора относительно этой тройки. В задачах равенство векторов тогда можно свести к равенствам числовых коэффициентов. Так геометрическое рассуждение превращается в удобную алгебраическую запись.

Что запомнить

• Тройка некомпланарных векторов задаёт три независимых направления в пространстве.
• Любой вектор пространства можно разложить по трём некомпланарным векторам.
• При фиксированной некомпланарной тройке разложение единственно.
• Чтобы доказать равенство коэффициентов, используют единственность разложения.
• Для компланарной тройки теорема о разложении любого пространственного вектора неприменима.