8.5. Векторы в пространстве

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Если начало находится в точке A, а конец — в точке B, его обозначают AB⃗, ставя стрелку над буквами; иногда используют одну строчную букву со стрелкой, например a⃗. Направление вектора идёт от первой точки ко второй. Такое обозначение помогает отличать перемещение от обычного отрезка, для которого важна только длина.

Нулевой вектор — вектор, у которого начало совпадает с концом. Его обозначают 0⃗, а длина равна нулю; определённого направления у него нет. Он нужен, например, чтобы описать отсутствие перемещения или записать результат сложения противоположных векторов. Нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одного направления. Их начала могут находиться в разных точках пространства, поэтому совпадение отрезков не требуется. Равенство позволяет заменить один вектор другим при построении или вычислении, если сохраняются его длина и направление. Так становится возможным складывать векторы, первоначально расположенные в разных местах.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными, если направлены в одну сторону, или противоположно направленными. Это свойство помогает сравнивать векторы и понимать, как изменится направление при умножении на число. Коллинеарность не означает равенства: длины таких векторов могут различаться.

Как это устроено

Вектор задаётся длиной и направлением, потому что именно эти две характеристики полностью описывают перемещение. Его положение в пространстве несущественно: параллельно перенесённый вектор не меняет ни длины, ни направления. Поэтому равный ему вектор можно отложить от любой точки. Это удобно, когда нужно соединить несколько перемещений, заданных в разных местах фигуры.

Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, конец первого совмещают с началом второго. Сумма идёт от начала первого к концу второго, потому что именно так выглядит общее перемещение после выполнения двух шагов подряд. Направление каждого шага при переносе сохраняется. Поэтому построение работает и тогда, когда исходные векторы были расположены отдельно.

Правило параллелограмма даёт ту же сумму: оба вектора откладывают от одной точки, достраивают параллелограмм, а его диагональ из общего начала является суммой. Диагональ учитывает оба перемещения одновременно, поэтому результат совпадает с последовательным движением по двум сторонам. Это построение удобно, когда векторы уже имеют общее начало. Оно также наглядно показывает, что порядок слагаемых не меняет сумму.

Разность определяют через сложение с противоположным вектором: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗). Вектор −b⃗ имеет ту же длину, что и b⃗, но направлен в обратную сторону. Поэтому для построения разности достаточно развернуть второй вектор и применить правило треугольника. Если a⃗ и b⃗ отложены от общей точки, разность можно представить вектором от конца b⃗ к концу a⃗.

При умножении вектора на число k его длина умножается на |k|, то есть на модуль числа. Если k положительно, направление остаётся прежним, а если отрицательно — становится противоположным, потому что умножение на минус меняет ориентацию. При k = 0 получается нулевой вектор. Так числом можно одновременно задать, насколько растянуть вектор и в какую сторону направить результат.

Действия над векторами в пространстве

Сначала определите, какое действие требуется, а затем выберите соответствующее построение. Для сложения с общим началом удобно правило параллелограмма, для последовательных перемещений — правило треугольника. При вычитании не забудьте изменить направление второго вектора.

Разбор задач

Задача 1. В тетраэдре ABCD выразить вектор AC⃗ через векторы AB⃗ и BC⃗. Нужно попасть из A в C, а точка B задаёт промежуточный пункт. Поэтому разложим путь на два последовательных перемещения. Применим правило треугольника.

1. Первый шаг из A в B задаётся вектором AB⃗.
2. Второй шаг из B в C задаётся вектором BC⃗, и его начало уже совпадает с концом первого.
3. По правилу треугольника сумма этих шагов направлена из A в C.

Ответ: AC⃗ = AB⃗ + BC⃗. Здесь используются именно векторы с согласованными концом и началом, поэтому результат непосредственно соединяет начальную и конечную точки пути.

Задача 2. Даны векторы a⃗ и b⃗, отложенные от одной точки. Построить вектор a⃗ − b⃗. Вычитание заменим сложением противоположного вектора, чтобы применить знакомое правило построения суммы. Общее начало исходных векторов позволяет также увидеть разность на рисунке.

1. Постройте вектор −b⃗ той же длины, что и b⃗, но направленный в обратную сторону.
2. Сложите a⃗ и −b⃗ по правилу треугольника: перенесите −b⃗ так, чтобы его начало совпало с концом a⃗.
3. Проведите вектор от общего начала к концу перенесённого −b⃗. Это искомая разность.

Ответ: построенный вектор равен a⃗ − b⃗. Если сохранить исходное общее начало, разность можно провести от конца b⃗ к концу a⃗.

Задача 3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ выразить вектор AC₁⃗ через AB⃗, AD⃗ и AA₁⃗. Разобьём перемещение из A в C₁ на отрезки, параллельные рёбрам параллелепипеда. Такой путь удобно провести сначала по основанию, а затем вверх.

1. Из A в B перемещаемся на AB⃗.
2. Из B в C идём вдоль ребра, равного и сонаправленного AD⃗, поэтому BC⃗ = AD⃗.
3. Из C в C₁ перемещаемся вдоль ребра, равного AA₁⃗, поэтому CC₁⃗ = AA₁⃗.
4. Складываем последовательные перемещения по правилу треугольника.

Ответ: AC₁⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AA₁⃗. Результат направлен от начальной точки A к конечной C₁, хотя путь разбит на три шага.

Типичные ошибки

Считать векторы равными только из-за одинаковой длины — ошибка: они могут быть направлены по-разному. Её допускают, когда сравнивают векторы как обычные отрезки. Проверьте не только длины, но и направления от начала к концу; для равенства нужны обе характеристики.

Требовать от равных векторов общего начала тоже неверно: их можно переносить параллельно. Это заблуждение возникает, если воспринимать вектор как конкретный отрезок в конкретном месте. Проверьте, сохраняются ли при переносе длина и направление: если да, вектор остаётся тем же.

При сложении по правилу треугольника нельзя располагать векторы произвольно: конец первого должен совпасть с началом второго. Иначе построенная линия не описывает последовательное перемещение. Перед проведением суммы проверьте, что отрезки образуют цепочку шагов, а итог соединяет начало цепочки с её концом.

При умножении на отрицательное число меняется не только длина, но и направление. Ошибка появляется, если учитывать лишь модуль множителя. Для проверки отдельно оцените длину по |k| и направление по знаку: при k < 0 результат должен быть противоположно направлен исходному вектору.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны понятия направленного отрезка и длины отрезка, а также умение распознавать параллельные прямые и плоскости. Они помогают задавать направление, сравнивать длины и переносить векторы в пространстве. Векторы затем используют при изучении координат точек и векторов, уравнений прямых и плоскостей. В стереометрии с их помощью удобно записывать перемещения по рёбрам фигур и решать пространственные задачи.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением, а не положением в пространстве.
• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• При сложении по правилу треугольника конец первого вектора соединяют с началом второго.
• Разность a⃗ − b⃗ равна сумме a⃗ + (−b⃗).
• Умножение вектора на число изменяет его длину; отрицательное число меняет направление на противоположное.
• Нулевой вектор имеет нулевую длину.