"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Вектор в пространстве — направленный отрезок, который описывают его длиной и направлением. Векторы помогают задавать перемещения и связывать точки, а действия над ними позволяют находить результат нескольких перемещений. Важно, что вектор можно переносить параллельно самому себе: его положение изменится, но длина и направление останутся прежними. Это даёт возможность складывать, вычитать и умножать векторы так же, как на плоскости, и применять эти правила при решении задач о многогранниках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вектор в пространстве — направленный отрезок, у которого указаны начало и конец. Его обозначают двумя буквами с направленной чертой сверху, например вектор AB: точка A — начало, B — конец; также используют строчную букву со стрелкой. Такое обозначение позволяет отличить перемещение из A в B от перемещения в обратную сторону.
Равные векторы имеют одинаковые длину и направление. Их начала могут находиться в разных точках: вектор определяется не местом на чертеже, а тем, на какое расстояние и куда он направлен. Это позволяет сопоставлять перемещения, изображённые в разных частях пространства.
Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Если вектор обозначен a, противоположный ему обозначают −a; сумма a и −a равна нулевому вектору. Такое обозначение удобно для описания движения назад и для вычитания.
Сумма векторов — вектор, полученный по правилу треугольника или параллелограмма. Он показывает общее перемещение при последовательном выполнении двух перемещений. Поэтому сложение помогает заменить путь из нескольких шагов одним направленным отрезком.
Вектор можно параллельно переносить, потому что при таком переносе не меняются ни его длина, ни направление. А именно эти две характеристики определяют вектор, тогда как положение начала не является его свойством. Поэтому одинаковый вектор можно отложить от любой выбранной точки пространства, сохранив исходное перемещение.
Чтобы построить сумму a + b, перенесите b так, чтобы его начало совпало с концом a. Соедините начало a с концом перенесённого b: полученный вектор описывает сначала перемещение a, затем перемещение b. Если выбрать другие равные переносы слагаемых, длины и направления каждого шага не изменятся, а конечное положение относительно начального останется тем же; значит, и сумма будет той же. Если отложить оба вектора от одной точки, параллелограмм даёт тот же результат по диагонали.
Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором: a − b = a + (−b). На чертеже постройте вектор −b, равный b по длине, но направленный обратно, а затем сложите его с a по правилу треугольника. Так не приходится угадывать направление разности: оно получается из построения. В частности, если начала a и b совмещены, вектор от конца b к концу a изображает a − b.
При умножении вектора a на число k его длина умножается на |k|, а результат остаётся коллинеарным a, то есть лежит на той же или параллельной прямой. При k > 0 направление сохраняется, при k < 0 разворачивается на противоположное; например, −2a вдвое длиннее a и направлен обратно. При k = 0 длина становится нулевой, поэтому получается нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.
Правила для векторов в пространстве аналогичны правилам на плоскости, потому что определения равенства, сложения и умножения не зависят от числа измерений. Геометрическое построение по-прежнему опирается на перенос, длину и направление. В пространстве просто появляется больше возможных направлений, а сами правила действий остаются прежними. Поэтому навыки работы с векторами на плоскости можно применять и в объёмных фигурах.
| Действие | Геометрическое построение | Результат |
|---|---|---|
| Сложение | Правило треугольника или параллелограмма | Вектор от начала первого слагаемого к концу второго |
| Вычитание | К первому вектору прибавляют противоположный второму | Вектор-разность |
| Умножение на число | Изменяют длину в соответствии с модулем числа; при отрицательном числе меняют направление | Коллинеарный исходному вектор |
| Умножение на нуль | Длину вектора уменьшают до нуля | Нулевой вектор |
Чтобы выбрать способ построения суммы, ориентируйтесь на рисунок: правило треугольника удобно для последовательных перемещений, а параллелограмма — когда оба слагаемых отложены из одной точки. Разность сначала замените суммой с противоположным вектором. При умножении на число отдельно проверьте изменение длины и направления.
Условие. На чертеже даны равные векторы AB и CD. Укажите их длины и направления и объясните, почему векторы равны. Числовые длины зависят от чертежа, поэтому их нужно определить по отмеченным отрезкам или масштабу. Решение строится на проверке двух признаков равенства.
Ответ. Длины векторов AB и CD равны измеренной общей длине, направления совпадают — от A к B и от C к D. Следовательно, векторы равны, хотя их начала A и C могут располагаться в разных местах пространства. Без конкретного чертежа числовое значение длины определить нельзя.
Условие. Постройте вектор a + b, если векторы a и b заданы в пространстве. Сначала важно понять, что складываются не точки и не длины отрезков, а перемещения. Поэтому результат должен соединять начальное положение до первого перемещения с конечным положением после второго.
Ответ. Искомый вектор соединяет начало первого слагаемого с концом второго после переноса. Если вместо b перенести равный ему вектор в другое подходящее место, конец общего пути не изменится относительно его начала, поэтому сумма останется прежней. При необходимости можно проверить построение диагональю параллелограмма.
Условие. В параллелепипеде выразите диагональный вектор через векторы трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Пусть из вершины A выходят рёбра AB, AD и AA₁, а G — противоположная вершина. Нужно заменить прямое перемещение из A в G последовательностью перемещений вдоль рёбер.
Ответ. AG = AB + AD + AA₁. Порядок слагаемых можно менять: путь складывается из тех же перемещений и приводит к той же конечной точке. Такой способ позволяет выразить пространственную диагональ через рёбра фигуры.
Первая ошибка — считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Её допускают, когда сравнивают лишь размеры отрезков и не следят за стрелками; равные по длине, но противоположно направленные векторы не равны. Проверьте оба признака: измерьте длины и убедитесь, что направления совпадают.
Вторая ошибка — откладывать второе слагаемое от начала первого, а не от его конца. Тогда построение не описывает последовательные перемещения, и полученный отрезок не изображает сумму по правилу треугольника. Перед проведением результата проверьте, что конец первого вектора совпал с началом второго.
Третья ошибка — пытаться вычитать векторы, просто сопоставляя их начала. Такое построение легко перепутать с разностью в обратном порядке: при смене порядка меняется направление результата. Надёжнее заменить a − b на a + (−b), а при общем начале провести вектор от конца b к концу a.
Четвёртая ошибка — при умножении на отрицательное число изменить длину, но оставить прежнее направление. Это происходит, если учитывать только модуль множителя; знак тоже важен. Проверьте себя: при отрицательном множителе результат должен смотреть в противоположную сторону, а его длина равна длине исходного вектора, умноженной на модуль числа.
Для изучения векторов в пространстве нужны понятия направленного отрезка и длины отрезка, а также правила сложения векторов на плоскости. Параллельный перенос помогает понять, почему один и тот же вектор можно изображать в разных точках. Если сложение на плоскости уже знакомо, в пространстве достаточно следить за тем, чтобы чертёж правильно показывал объёмное расположение объектов.
Векторы пригодятся при изучении координатного метода: координаты позволяют записывать и вычислять действия с векторами численно. Они также помогают решать задачи о прямых, плоскостях и многогранниках, например выражать диагональ через рёбра. Геометрическое построение показывает смысл действия, а координатная запись делает вычисления удобнее.
Чем вектор отличается от отрезка?
Отрезок имеет длину и положение, а вектор — длину и направление. Поэтому вектор описывает перемещение от начальной точки к конечной.
Могут ли равные векторы иметь разные начала?
Да. Начала равных векторов могут быть разными точками пространства. Для равенства достаточно одинаковых длины и направления.
Как построить сумму двух векторов в пространстве?
Перенесите второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого. Сумма направлена от начала первого вектора к концу перенесённого второго.
Почему вычитание вектора заменяют сложением с противоположным?
Противоположный вектор имеет ту же длину, но направлен в обратную сторону. Поэтому разность a − b строят как сумму a и вектора −b.
Что происходит с вектором при умножении на отрицательное число?
Длина вектора умножается на модуль числа, а направление меняется на противоположное. Например, −2a вдвое длиннее a и направлен обратно.
§ 45. Векторы в пространстве
