§ 46. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координаты вектора — числа, задающие его компоненты вдоль координатных осей. В пространстве вектор записывают тройкой (x; y; z), где x, y и z показывают смещения по осям Ox, Oy и Oz. Такая запись позволяет выполнять действия с векторами численно.

Координатный вектор — вектор, координаты которого рассматриваются в выбранной системе координат. Его запись зависит от направления осей и от единицы измерения на каждой оси. Поэтому один и тот же геометрический вектор при другой системе отсчёта может получить другие координаты.

Нулевой вектор — вектор, все координаты которого равны нулю: (0; 0; 0). Его начало и конец совпадают, поэтому он не имеет определённого направления и длины, отличной от нуля. Нулевой вектор нужен, например, для записи результата вычитания равных векторов.

Равные векторы — сонаправленные векторы одинаковой длины. Они могут быть расположены в разных местах, но их соответствующие координаты совпадают. Поэтому равенство векторов можно проверять сравнением троек чисел.

Как это устроено

Координатные оси задают три независимых направления, а единичный отрезок на каждой оси определяет масштаб измерения. Поэтому любой вектор можно мысленно разложить на перемещения вдоль Ox, Oy и Oz. Числа этих перемещений и становятся его координатами, так что тройка чисел полностью описывает вектор в выбранной системе.

Пусть A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂). Чтобы попасть из A в B, по оси Ox нужно изменить координату на x₂ − x₁, по Oy — на y₂ − y₁, по Oz — на z₂ − z₁. Поэтому AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁): разность конечной и начальной координат учитывает направление движения.

При параллельном переносе вектора его начало и конец меняются одинаково. Например, если к координатам обеих точек прибавить один и тот же вектор перемещения, одинаковые добавки сократятся при вычитании. Поэтому координаты и длина перенесённого вектора остаются прежними.

Если векторы равны, то совпадают их направления и длины, а в одной системе координат совпадают и соответствующие компоненты. Если a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то a = b означает x₁ = x₂, y₁ = y₂, z₁ = z₂. Для противоположных векторов каждая координата меняет знак: если a = (x; y; z), то −a = (−x; −y; −z).

Длину вектора можно найти как длину пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда с рёбрами |x|, |y| и |z|. Сначала по теореме Пифагора получают квадрат длины, равный x² + y² + z². Значит, для вектора (x; y; z) длина равна √(x² + y² + z²).

Координаты вектора в пространстве

В таблице сначала находите нужную строку по условию задачи. Затем подставляете координаты и выполняете правило отдельно для каждой оси.

Запись тройки всегда сохраняйте в порядке x, y, z. Это помогает не перепутать соответствующие координаты и правильно применить формулу длины.

Разбор задач

Задача 1

Даны точки A(1; −2; 3) и B(4; 0; −1). Требуется найти координаты вектора AB. Направление вектора идёт от A к B, поэтому вычитаем координаты A из координат B.

1. Для первой координаты получаем 4 − 1 = 3.
2. Для второй координаты получаем 0 − (−2) = 2.
3. Для третьей координаты получаем −1 − 3 = −4 и объединяем результаты.

Ответ: AB = (3; 2; −4). Отрицательная третья координата означает движение в сторону, противоположную положительному направлению оси Oz.

Задача 2

Даны a = (2; −1; 3) и b = (−4; 2; 1). Нужно найти a + b и длину a. Сложение выполняем по соответствующим позициям, а длину первого вектора — по формуле корня из суммы квадратов его координат.

1. Складываем первые координаты: 2 + (−4) = −2.
2. Складываем вторые и третьи координаты: −1 + 2 = 1, 3 + 1 = 4. Поэтому a + b = (−2; 1; 4).
3. Для длины a вычисляем √(2² + (−1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14.

Ответ: a + b = (−2; 1; 4), |a| = √14. Знак минус во второй координате не мешает вычислению длины, потому что координата возводится в квадрат.

Задача 3

Даны A(−1; 2; 0) и AC = (3; −4; 5). Нужно найти координаты точки C. Координаты вектора равны разностям координат конца и начала, поэтому неизвестные координаты C можно получить прибавлением координат AC к координатам A.

1. По оси Ox: x_C − (−1) = 3, значит x_C = 2.
2. По оси Oy: y_C − 2 = −4, значит y_C = −2.
3. По оси Oz: z_C − 0 = 5, значит z_C = 5.

Ответ: C(2; −2; 5). Проверка выполняется обратным вычитанием: из координат C вычитаем координаты A и снова получаем (3; −4; 5).

Типичные ошибки

При нахождении AB иногда вычитают координаты конца из координат начала. Такая ошибка меняет направление и даёт координаты BA; проверить себя можно по стрелке: сначала должна стоять точка A, а затем B.

При сложении или вычитании векторов ученики смешивают координаты разных позиций. Причина — работа сразу с несколькими тройками, поэтому полезно записывать действие столбиком и считать отдельно по Ox, Oy и Oz.

Равенство длин принимают за равенство векторов. Векторы одинаковой длины могут иметь разные направления, так что дополнительно сравните все соответствующие координаты или убедитесь в сонаправленности.

В формуле длины забывают квадраты или корень. Проверка проста: под корнем должны стоять квадраты всех трёх координат, а результат длины не может быть отрицательным.

Связь с другими темами

Для координат вектора нужны координаты точек в пространстве, направленные отрезки и понятие равных векторов. Эти знания объясняют, почему порядок точек в записи AB имеет значение.

Координаты позволяют выполнять сложение, вычитание и умножение векторов на число. Позже они понадобятся при изучении скалярного произведения и решении геометрических задач координатным методом.

Что запомнить

• Координаты вектора записывают упорядоченной тройкой чисел.
• Координаты AB равны координатам B минус соответствующие координаты A.
• При переносе вектора его координаты не изменяются.
• Равные векторы имеют одинаковые соответствующие координаты.
• Координаты нулевого вектора — (0; 0; 0).
• Длина вектора (x; y; z) равна √(x² + y² + z²).