"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Скалярное произведение — число, которое связывает длины двух векторов и угол между ними: a·b = |a||b|cos∠(a,b). Оно помогает выяснить, острый или тупой угол образуют векторы, проверить их перпендикулярность и найти угол по координатам. Произведение можно вычислять геометрически или по координатам: во втором случае перемножают соответствующие координаты и складывают результаты. Главное — не забывать косинус и помнить, что ответом является число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скалярное произведение векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a·b = |a||b|cos∠(a,b). Запись a·b показывает, какие именно векторы перемножаются. Это определение нужно, чтобы учитывать не только длины, но и взаимное направление векторов.
Угол между векторами — угол, величина которого используется в формуле скалярного произведения. Его рассматривают между векторами, отложенными от общего начала; величина угла находится от 0° до 180°. Угол нужен, чтобы различать случаи, когда направления векторов близки, противоположны или образуют прямой угол.
Ортогональные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Для таких векторов косинус угла равен нулю, поэтому их скалярное произведение тоже равно нулю. Понятие ортогональности позволяет записывать перпендикулярность векторов через вычисления.
Координатная формула скалярного произведения позволяет вычислить его через произведения соответствующих координат. На плоскости для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) это сумма x₁x₂ + y₁y₂, а в пространстве к ней добавляется z₁z₂. Формула особенно удобна, когда координаты известны, но угол между векторами не дан.
В определении важны и длины, и угол, потому что сами по себе длины не показывают, куда направлены векторы. Если векторы направлены одинаково, косинус равен 1 и произведение положительно; если противоположно — косинус равен −1. При прямом угле косинус обращается в ноль, поэтому взаимное направление может полностью обнулить произведение независимо от длин.
Геометрический смысл становится понятнее через проекцию: длина проекции b на направление a равна |b|cos∠(a,b), если учитывать её знак. Тогда a·b можно представить как длину a, умноженную на эту проекцию b. Когда b направлен в сторону a, проекция положительна; когда в противоположную — отрицательна, а при перпендикулярности равна нулю.
Перестановка множителей не меняет результат, потому что |a||b|cos∠(a,b) симметрично относительно a и b: длины перемножаются, а угол один и тот же. Так получается переместительное свойство a·b = b·a. Распределительное свойство связано с тем, что проекция суммы векторов равна сумме их проекций; поэтому a·(b+c) = a·b + a·c. Числовой множитель также можно вынести: (ka)·b = k(a·b).
Чтобы получить координатную формулу на плоскости, представим векторы как a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂). Их длины находятся по теореме Пифагора, а косинус угла можно выразить через направления векторов; при подстановке в геометрическую формулу остаются произведения одноимённых координат: x₁x₂ + y₁y₂. В пространстве рассуждение такое же, но у каждого вектора есть третья координата, поэтому формула принимает вид x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.
Для ненулевых векторов их длины положительны, поэтому из формулы a·b = |a||b|cos∠(a,b) следует: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда косинус угла равен нулю. В промежутке от 0° до 180° это происходит при угле 90°. Так нулевое скалярное произведение становится признаком перпендикулярности, но только если оба вектора ненулевые.
| Свойство или способ | Формулировка | Формула или следствие |
|---|---|---|
| Определение | Произведение длин на косинус угла между векторами | a·b = |a||b|cos∠(a,b) |
| Переместительное свойство | Порядок векторов можно менять | a·b = b·a |
| Распределительное свойство | Произведение суммы раскладывается на сумму произведений | a·(b+c) = a·b + a·c |
| Вынесение числового множителя | Множитель можно вынести за знак произведения | (ka)·b = k(a·b) |
| Скалярное произведение вектора самого на себя | Угол вектора с самим собой равен 0° | a·a = |a|² |
| Критерий перпендикулярности | Для ненулевых векторов нулевое произведение означает прямой угол | a·b = 0 ⇔ a ⟂ b |
| Координатная формула на плоскости | Складываются произведения первых и вторых координат | a·b = x₁x₂ + y₁y₂ |
| Координатная формула в пространстве | К сумме добавляется произведение третьих координат | a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ |
Если известны длины и угол, используйте определение; если даны координаты — соответствующую координатную формулу. Свойства помогают упрощать выражения, а критерий перпендикулярности — проверять результат. Для вычисления угла сначала найдите произведение и длины, затем выразите косинус.
Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов a и b, если |a| = 4, |b| = 5, а угол между ними равен 60°. Здесь уже известны обе длины и угол, поэтому удобнее применить геометрическое определение. Значение косинуса угла 60° равно ½.
Ответ: 10. Положительный результат согласуется с тем, что угол 60° острый. Это служит быстрой проверкой знака.
Задача 2. Даны векторы a = (2; −1; 3) и b = (1; 4; −2). Найдите их скалярное произведение и определите, перпендикулярны ли они. Поскольку координаты даны в пространстве, нужно попарно перемножить координаты с одинаковыми позициями. Затем проверим, получилась ли сумма, равная нулю.
Ответ: a·b = −8; векторы не перпендикулярны. Отрицательное значение говорит, что угол между ними тупой. Длины здесь вычислять не потребовалось.
Задача 3. Найдите угол между векторами a = (1; 2; 2) и b = (2; 1; −2). Координатная формула даст скалярное произведение, а длины найдём по квадратному корню из суммы квадратов координат. После этого выразим косинус угла и определим угол.
Ответ: 90°. Векторы ненулевые, поэтому нулевое скалярное произведение подтверждает их перпендикулярность. Такой способ находит угол даже тогда, когда его величина заранее неизвестна.
Первая ошибка — считать скалярное произведение просто произведением длин и забыть косинус угла. Так могут поступить, если запомнили только часть формулы или автоматически перемножили числа из условия. Проверьте запись: в ней обязательно должны присутствовать |a|, |b| и cos угла; результат должен зависеть от угла.
Вторая ошибка — спутать скалярное произведение с векторным и записать ответ как вектор. Путаница возникает из-за общего слова «произведение» и похожих обозначений в задачах на векторы. Сверьтесь с определением: a·b — число, поэтому ответом будет одно числовое значение.
Третья ошибка — неправильно перемножить координаты, например перемножить координаты внутри одного вектора или сложить их до умножения. Обычно это происходит, когда забывают, что каждой координате первого вектора соответствует координата на той же позиции второго. Запишите пары отдельно: x₁x₂, y₁y₂ и, если нужно, z₁z₂; лишь затем сложите произведения.
Четвёртая ошибка — заключить, что нулевое произведение всегда доказывает перпендикулярность. Нулевой вектор имеет нулевое скалярное произведение с любым вектором, но угол с ним не определён. Перед применением критерия проверьте, что оба вектора ненулевые; в координатах это можно сделать по условию или по длинам.
Для работы со скалярным произведением понадобятся длина и координаты вектора, умение находить угол между векторами, значения косинуса и действия с координатами. Если длина дана координатами, её находят по теореме Пифагора. Эти знания позволяют выбирать между геометрическим и координатным способом вычисления.
Скалярное произведение помогает находить углы и длины, а также проверять перпендикулярность прямых и плоскостей. Например, направления двух прямых сравнивают с помощью направляющих векторов: нулевое произведение таких векторов указывает на прямой угол. При этом нужно правильно выбрать векторы, связанные с рассматриваемыми объектами.
Далее этот инструмент используют в задачах на уравнения прямых и плоскостей, расстояния и ортогональные проекции. Проекция показывает составляющую вектора вдоль заданного направления, а скалярное произведение позволяет выразить её через вычисления. Поэтому тема соединяет координатную геометрию с геометрическим смыслом направления.
Почему результат скалярного произведения является числом?
По определению перемножаются длины векторов и косинус угла между ними. Все эти величины — числа, поэтому и результатом является число, а не новый вектор.
Можно ли найти скалярное произведение, если известны только координаты векторов?
Да. Перемножьте соответствующие координаты векторов и сложите полученные произведения. В пространстве к сумме добавляется произведение третьих координат.
Что означает отрицательное скалярное произведение?
Для ненулевых векторов это означает, что угол между ними тупой: его косинус отрицателен. Если произведение равно нулю, угол прямой.
Почему нулевое скалярное произведение связано с прямым углом?
Для ненулевых векторов длины положительны, поэтому произведение может быть нулём только из-за cos∠(a,b) = 0. Косинус равен нулю при угле 90°.
Как по скалярному произведению найти угол между векторами?
Найдите произведение векторов и их длины, затем вычислите cos∠(a,b) = (a·b)/(|a||b|). Угол равен арккосинусу полученного числа.
§ 47. Скалярное произведение векторов
