"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Плоскость в пространстве можно задать уравнением, связывающим координаты всех её точек. Общий вид такой записи — Ax + By + Cz + D = 0, причём коэффициенты A, B, C образуют нормальный вектор, перпендикулярный плоскости. Если известны точка плоскости и нормаль, уравнение составляют напрямую. Такая запись помогает определять, лежит ли точка на плоскости, и решать задачи о взаимном расположении геометрических объектов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение плоскости — уравнение с координатами x, y, z, которому удовлетворяют координаты каждой точки плоскости и не удовлетворяют координаты точек вне неё. Иначе говоря, оно отбирает из всего пространства именно точки одной плоскости. Такая запись позволяет описывать геометрическую фигуру числами и проверять принадлежность точек.
Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Для уравнения Ax + By + Cz + D = 0 его координаты равны (A, B, C). Нормаль показывает направление, в котором плоскость не меняет своего положения, и помогает составлять её уравнение.
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C не равны нулю одновременно. Значения x, y и z здесь являются координатами произвольной точки, а A, B, C и D — постоянными числами. Это универсальная форма: по ней можно найти нормаль и проверить, принадлежит ли точка плоскости.
Уравнение плоскости через точку и нормальный вектор записывается как A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Здесь (x₀, y₀, z₀) — координаты известной точки плоскости, а (A, B, C) — её нормаль. Эта форма удобна, когда заданы точка и перпендикулярное плоскости направление.
В прямоугольной системе координат пространственная точка задаётся тремя числами: расстояниями с учётом знака по осям x, y и z. Вектор тоже описывается тремя координатами, которые показывают его перемещения вдоль этих осей. Поэтому условие принадлежности точки плоскости должно связывать все три координаты. Для точек одной плоскости эта связь одна и та же, а у точек вне плоскости она нарушается.
Пусть известна точка P₀(x₀, y₀, z₀) на плоскости и её нормальный вектор n = (A, B, C). Возьмём любую другую точку P(x, y, z) этой плоскости: вектор P₀P имеет координаты (x − x₀, y − y₀, z − z₀). Он лежит в плоскости, а значит, перпендикулярен нормали. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, поэтому A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Это и есть уравнение плоскости через заданную точку и нормаль.
Раскроем скобки в полученной записи: Ax + By + Cz − Ax₀ − By₀ − Cz₀ = 0. Постоянную часть можно обозначить буквой D, где D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀, и получится общее уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Коэффициенты A, B, C задают нормальный вектор, потому что уравнение получено именно из условия его перпендикулярности любому направлению внутри плоскости. Свободный член D не меняет направления нормали, а влияет на расположение плоскости относительно начала координат.
Почему уравнение первой степени действительно задаёт плоскость? Если хотя бы один из коэффициентов A, B, C ненулевой, уравнение связывает координаты точек одним линейным условием; множество его решений образует плоскость. Например, при ненулевом C можно выразить z через x и y, так что каждой подходящей паре координат соответствуют точки одного плоского множества. Если же все три коэффициента нулевые, координаты исчезают и уравнение перестаёт описывать плоскость. Проверка точки работает по тому же принципу: подставляют x, y, z и выясняют, выполняется ли условие.
| Что задано или известно | Запись | Как прочитать или использовать |
|---|---|---|
| Общее уравнение плоскости | Ax + By + Cz + D = 0 | Координаты точек плоскости обращают левую часть в ноль; A, B, C не равны нулю одновременно. |
| Уравнение через точку и нормальный вектор | A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 | Подставляют координаты заданной точки и нормали, чтобы составить уравнение. |
| Нормальный вектор по уравнению | n = (A, B, C) | Берут коэффициенты при x, y, z в общем уравнении. |
| Проверка принадлежности точки плоскости | Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 | Подставляют координаты точки (x₁, y₁, z₁); равенство верно — точка лежит на плоскости. |
Сначала определите, что именно дано: готовое уравнение или точка с нормалью. По общему виду сразу считывается нормальный вектор, а форму через точку удобно использовать для составления уравнения. Для проверки точки используйте её координаты целиком, не сравнивая отдельные координаты с коэффициентами.
Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, −2, 3) и имеющей нормальный вектор n = (2, 1, −1). Даны ровно те сведения, которые нужны для формы уравнения через точку и нормаль. Подставим координаты точки вместо x₀, y₀, z₀, а координаты нормали — вместо A, B, C.
Запишем формулу: A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. В ней переменные x, y, z обозначают координаты любой точки искомой плоскости. Координаты A и заданного вектора не следует путать: здесь буква A в формуле — коэффициент, а точку обозначим как A(1, −2, 3).
Подставим числа: 2(x − 1) + 1(y − (−2)) − 1(z − 3) = 0. Скобка y − (−2) превращается в y + 2, а слагаемое −(z − 3) — в −z + 3. Поэтому уравнение принимает вид 2(x − 1) + (y + 2) − (z − 3) = 0.
Раскроем скобки и приведём подобные: 2x − 2 + y + 2 − z + 3 = 0, то есть 2x + y − z + 3 = 0. Получившиеся коэффициенты при x, y, z равны координатам исходной нормали. Проверка подстановкой точки A даёт 2 − 2 − 3 + 3 = 0.
Ответ: 2x + y − z + 3 = 0.
Задача 2. Определить, принадлежит ли точка M(2, 0, −1) плоскости 3x − 2y + z − 5 = 0. Чтобы ответить, достаточно проверить, обращает ли точка левую часть уравнения в ноль. Не нужно искать другие точки плоскости или сравнивать координаты M с коэффициентами.
Подставим x = 2, y = 0, z = −1: 3 · 2 − 2 · 0 + (−1) − 5. Важно подставить все три координаты, сохранив знак числа −1. Нулевой координатой y можно заменить только соответствующее слагаемое.
Вычислим: 6 + 0 − 1 − 5 = 0. Левая часть равна нулю, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости. Если бы получилось ненулевое число, точка не принадлежала бы плоскости.
Ответ: точка M принадлежит плоскости.
Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Через такие точки проходит единственная плоскость, и две стороны треугольника с общей вершиной задают в ней разные направления. Найдём нормаль, перпендикулярную обоим этим направлениям, а затем применим уравнение через точку.
Обозначим точки P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃). Составим векторы u = P₁P₂ и v = P₁P₃: их координаты равны разностям соответствующих координат концов. Поскольку точки не лежат на одной прямой, эти векторы неколлинеарны и задают направления внутри плоскости.
Найдём ненулевой вектор n = (A, B, C), перпендикулярный и u, и v. Для этого приравняем нулю скалярные произведения n · u и n · v и решим полученную систему. Ненулевое решение существует, потому что два независимых направления определяют перпендикулярное им направление.
Подставим найденные A, B, C и координаты P₁ в формулу A(x − x₁) + B(y − y₁) + C(z − z₁) = 0. При необходимости раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Полученное уравнение проходит через P₁, а выбранная нормаль обеспечивает нужную ориентацию плоскости; точки P₂ и P₃ также ему удовлетворяют.
Ответ: уравнение получается по формуле через точку P₁ и найденную нормаль n; численный вид зависит от координат заданных точек.
Ошибка — считать коэффициенты A, B, C координатами какой-либо точки плоскости. Так можно подумать из-за того, что числа стоят рядом с координатами x, y, z, но на самом деле они задают нормальный вектор. Чтобы проверить себя, выпишите n = (A, B, C) отдельно и убедитесь, что не подменяете им координаты точки. Координаты точки подставляют вместо переменных, а не выбирают по коэффициентам.
Нельзя забывать, что нормаль должна быть ненулевой. Если A = B = C = 0, переменные исчезают, и равенство либо верно для каждой точки, либо не верно ни для одной. Эту ошибку предотвращает проверка коэффициентов перед использованием общего уравнения. Достаточно убедиться, что хотя бы один из трёх коэффициентов отличен от нуля.
При подстановке в уравнение через точку иногда путают фиксированные координаты x₀, y₀, z₀ с переменными x, y, z. Фиксированные числа задают известную точку, поэтому в скобках нужно вычитать именно их: например, при y₀ = −2 записывают y − (−2), а не y − 2. Перед раскрытием скобок сверьте каждую координату точки с соответствующей скобкой. Особенно внимательно следите за двойным минусом.
Ещё одна ошибка — проверять принадлежность точки сравнением отдельных координат вместо подстановки. Координаты точки могут не совпадать с коэффициентами, и такое совпадение вообще не является условием принадлежности. Подставьте x, y и z одновременно в левую часть уравнения и вычислите результат. Только значение ноль подтверждает, что точка лежит на плоскости.
Для вывода уравнения нужны координаты точек и векторов в пространстве, а также скалярное произведение. Именно условие равенства скалярного произведения нулю позволяет записать перпендикулярность нормали и направления в плоскости. Поэтому перед решением задач полезно уметь находить координаты вектора по двум точкам и проверять перпендикулярность векторов.
Уравнение плоскости применяется при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей, а также при вычислении расстояний и углов в пространстве. Оно переводит геометрические условия в вычисления с координатами. Например, зная нормальный вектор, можно сравнить направления плоскостей, а подстановкой координат проверить, принадлежит ли точка заданной плоскости.
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0.
Коэффициенты A, B, C одновременно не равны нулю.
Вектор (A, B, C) перпендикулярен плоскости.
Через точку (x₀, y₀, z₀) с нормалью (A, B, C) плоскость задаётся уравнением A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0.
Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению.
Умножение всех коэффициентов уравнения на одно и то же ненулевое число не меняет плоскость.
Почему уравнение плоскости содержит три координаты?
Точка пространства задаётся тремя координатами: x, y и z. Уравнение связывает эти координаты так, что ему удовлетворяют точки плоскости, а координаты точек вне неё — нет.
Как по общему уравнению найти нормальный вектор плоскости?
В уравнении Ax + By + Cz + D = 0 нормальный вектор имеет координаты (A, B, C). Он перпендикулярен плоскости; свободный член D в координаты нормали не входит.
Почему коэффициенты при x, y и z не могут быть одновременно нулевыми?
Если A = B = C = 0, уравнение превращается в D = 0 и перестаёт зависеть от координат точки. При D = 0 ему удовлетворяют все точки пространства, а при D ≠ 0 — ни одна, поэтому плоскость такое уравнение не задаёт.
Как проверить, лежит ли заданная точка в плоскости?
Подставьте все три координаты точки в уравнение вместо x, y и z. Точка принадлежит плоскости, если после вычислений левая часть равна нулю.
Можно ли получить разные уравнения одной и той же плоскости?
Да. Если умножить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, множество его решений не изменится. Поэтому, например, уравнения x + y − 1 = 0 и 2x + 2y − 2 = 0 задают одну плоскость.
§ 48. Уравнение плоскости в пространстве
