§ 49. Уравнение прямой в пространстве

Определения и обозначения

Направляющий вектор прямой — ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Его координаты показывают, как меняются координаты точки при движении вдоль прямой. Вектор, умноженный на любое ненулевое число, задаёт то же направление, поэтому для описания прямой можно выбирать удобный масштаб.

Параметрические уравнения прямой — три уравнения, выражающие координаты её точки через один общий параметр. Например, x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct. Такая запись нужна, чтобы получать координаты любой точки прямой, изменяя значение t.

Каноническое уравнение прямой связывает координаты произвольной точки прямой с координатами направляющего вектора. Если A(x₀, y₀, z₀) лежит на прямой, а её направляющий вектор имеет координаты (a, b, c), то при ненулевых a, b и c запись имеет вид (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c. Она удобна тем, что в одной строке показывает и точку, и направление прямой.

Прямая как пересечение плоскостей задаётся системой двух уравнений плоскостей, которые пересекаются по этой прямой. Любая точка, удовлетворяющая обоим уравнениям, принадлежит обеим плоскостям, а значит — их общей прямой. Такая форма полезна, когда уравнения плоскостей уже известны.

Как это устроено

Пусть A — известная точка прямой, а её радиус-вектор обозначен r₀. Радиус-вектор r любой другой точки прямой отличается от r₀ на вектор, параллельный самой прямой: r − r₀ = t·v, где v — направляющий вектор, а t — число. Причина в том, что разность радиус-векторов двух точек равна вектору, соединяющему эти точки, и он направлен вдоль прямой. Изменяя t, мы перемещаемся по прямой в обоих направлениях и получаем все её точки.

Векторное равенство r = r₀ + t·v можно записать отдельно для каждой координаты. Если r₀ = (x₀, y₀, z₀), а v = (a, b, c), то получаем x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct. Параметр должен быть общим: все три координаты относятся к одной точке, которая получена одним и тем же перемещением вдоль направления v. Если координата вектора равна нулю, соответствующая координата точки не меняется.

Чтобы перейти к канонической форме, из каждого параметрического уравнения выражают t: t = (x − x₀)/a, t = (y − y₀)/b, t = (z − z₀)/c. Поскольку во всех трёх равенствах стоит одно значение параметра, их правые части равны между собой. Так получается каноническое уравнение. Дробная запись допустима лишь для ненулевых координат направляющего вектора; если, например, a = 0, вместо первой дроби записывают x = x₀.

Проверка принадлежности точки прямой основана на том же общем параметре. Подставьте координаты точки в параметрические уравнения и найдите t по одной координате, где коэффициент при t не равен нулю. Затем подставьте найденное значение в остальные уравнения: точка лежит на прямой, только если все три равенства выполняются при одном t. Одной удачной подстановки недостаточно, поскольку она проверяет лишь одну координату.

Каждая плоскость в пространстве задаётся линейным уравнением, а две непараллельные плоскости обычно пересекаются по прямой. Поэтому можно одновременно записать оба уравнения и рассматривать их как систему. Решения системы — координаты точек, лежащих сразу на обеих плоскостях, то есть на их общей прямой. Чтобы пересечение действительно было прямой, плоскости должны быть различными и не параллельными.

Способы задания прямой в пространстве

Выбирайте способ записи по тому, какие данные даны и что требуется найти. Для вычисления координат точек и проверки принадлежности удобна параметрическая форма, а для краткой записи направления — каноническая. Если заданы плоскости, рассматривайте их уравнения как систему.

Разбор задач

Параметрические уравнения по точке и вектору

Условие. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через A(1, −2, 3) и параллельной вектору (2, 1, −1). Точка A задаёт положение прямой, а координаты вектора — изменение координат при движении по ней. Подставим эти данные в общую формулу с одним параметром.

1. Обозначим общий параметр буквой t.
2. К координате x точки A прибавляем 2t, к координате y — t, к координате z — −t.
3. Записываем полученные зависимости: x = 1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − t.

Ответ: x = 1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − t. При каждом выбранном t все три формулы дают координаты одной точки прямой. Например, при t = 0 получаем исходную точку A.

Каноническое уравнение по двум точкам

Условие. Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через A(1, 0, −2) и B(3, 4, 1). Сначала найдём направление прямой: вектор AB соединяет две её точки, поэтому он параллелен прямой. После этого подставим в каноническую форму координаты точки A и вектора AB.

1. Вычисляем координаты вектора AB: (3 − 1, 4 − 0, 1 − (−2)) = (2, 4, 3).
2. Берём A(1, 0, −2) за известную точку прямой. Все координаты вектора (2, 4, 3) ненулевые, поэтому дробная форма допустима.
3. Подставляем координаты в формулу и приравниваем отношения.

Ответ: (x − 1)/2 = y/4 = (z + 2)/3. Точка B тоже лежит на этой прямой: подстановка её координат даёт три равных отношения, каждое из которых равно 1. Это служит дополнительной проверкой направления и записи.

Проверка принадлежности точки

Условие. Определить, принадлежит ли M(5, 2, 0) прямой x = 1 + 2t, y = −1 + 3t, z = −2 + t. Чтобы ответить, нужно найти значение одного общего параметра, подходящее сразу для всех координат. Проверим это последовательно, не ограничиваясь только первым уравнением.

1. Подставляем x = 5 в первое уравнение: 5 = 1 + 2t, откуда t = 2.
2. Проверяем координату y: при t = 2 получаем −1 + 3·2 = 5, а у точки M координата y равна 2.
3. Значение параметра не подходит уже для второй координаты, поэтому проверять третью для подтверждения принадлежности не требуется.

Ответ: точка M не принадлежит прямой. Параметр t = 2 обеспечивает совпадение координаты x, но не координаты y. Следовательно, общего значения параметра для всех трёх координат не существует.

Типичные ошибки

Использовать разные параметры в уравнениях координат — значит описывать не одну точку, а независимые изменения каждой координаты. Такую запись иногда принимают за три отдельных условия, забывая, что точка прямой движется целиком. Проверка проста: убедитесь, что в формулах x, y и z стоит одна и та же буква параметра. Тогда выбор её значения однозначно задаёт все координаты точки.

В каноническом уравнении числители — это разности координат текущей точки и известной точки, а знаменатели — координаты направляющего вектора. Если перепутать эти роли, формула перестанет соответствовать параметрическим уравнениям. Ошибка возникает из-за того, что обе части записи содержат координаты. Для проверки разверните равенства через общий параметр: должно получиться x = x₀ + at и аналогичные формулы для y и z.

Нельзя записывать дробь с нулевым знаменателем, если одна из координат направляющего вектора равна нулю. Деление на ноль не определено, а сама координата точки при таком направлении постоянна. Например, при a = 0 вместо (x − x₀)/a пишут x = x₀, а остальные ненулевые координаты записывают отношениями. Проверьте каждую координату направляющего вектора до составления канонической формы.

Проверка точки только по одному уравнению не доказывает её принадлежность прямой: найденный параметр может не подойти для других координат. Эту ошибку допускают, когда воспринимают каждое уравнение как самостоятельное. Подставьте координаты точки, найдите возможное t, а затем используйте его во всех остальных уравнениях. Точка принадлежит прямой лишь при согласованной проверке всех координат.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением прямой нужны координаты точек и векторов в пространстве, а также правило нахождения координат разности векторов. Например, по двум точкам направление прямой находят как координаты вектора AB. Полезно знать и уравнение плоскости: оно позволяет задавать прямую как пересечение двух плоскостей. Эти понятия объединяют векторный и координатный способы описания объектов.

Уравнения прямых применяются при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей: с их помощью находят точки пересечения или проверяют, есть ли общие точки. В более сложных стереометрических задачах координатное описание помогает находить расстояния и решать задачи о положении объектов. Параметрическая запись особенно удобна, когда координаты точек прямой нужно подставлять в другие уравнения.

Что запомнить

• Для задания прямой нужны точка на ней и направляющий вектор.
• В параметрических уравнениях прямой используется один общий параметр.
• Направляющий вектор можно умножить на любое ненулевое число — направление прямой не изменится.
• Каноническое уравнение получают из параметрических исключением общего параметра.
• Если координата направляющего вектора равна нулю, соответствующая координата точки прямой постоянна.
• Прямая может быть задана как пересечение двух непараллельных плоскостей.