§ 50. Аналитическое задание пространственных фигур

Определения и обозначения

Координаты точки в пространстве — упорядоченная тройка чисел, определяющая её положение относительно выбранной системы координат. Обычно её записывают как (x, y, z), где числа показывают положение точки по трём направлениям. Благодаря координатам геометрическую задачу можно переводить на язык чисел. Это позволяет использовать формулы и выполнять вычисления вместо того, чтобы опираться только на чертёж.

Аналитическое задание фигуры — описание фигуры с помощью условия или уравнения, которому удовлетворяют координаты всех её точек. Например, можно указать, что расстояние от точки до фиксированного центра равно заданному числу. Тогда геометрическое свойство превращается в проверяемое условие для координат. Такой способ нужен, чтобы исследовать фигуры алгебраическими методами.

Уравнение фигуры — равенство с координатами точки, которое выполняется для точек фигуры и не выполняется для точек вне неё. Переменные x, y и z обозначают координаты произвольной точки пространства. Подстановка конкретных координат помогает выяснить, принадлежит ли точка фигуре. Поэтому уравнение можно считать правилом отбора нужных точек.

Сфера — множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданного центра. Это расстояние называют радиусом и обозначают R. Сфера является поверхностью, а не всей областью внутри неё. Определение сразу подсказывает, какое условие нужно записать для координат любой точки сферы.

Как это устроено

Координатная система сопоставляет каждой точке пространства тройку чисел, а каждой тройке — точку. Поэтому условие о расположении точек можно переписать как условие о значениях координат. Например, если точки фигуры должны находиться на одинаковом расстоянии от центра, расстояние выражается через координаты точки и центра. Так геометрическое описание превращается в алгебраическое, которое удобно проверять вычислением.

Пусть центр сферы имеет координаты O(a, b, c), а произвольная точка на ней — (x, y, z). По формуле расстояния между двумя точками расстояние до центра равно √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²). По определению сферы это расстояние должно равняться радиусу R. Возведя обе части в квадрат, получаем (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²; квадраты позволяют записать условие без корня.

Если раскрыть скобки в уравнении сферы, появятся квадраты координат и линейные слагаемые: x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + a² + b² + c² − R² = 0. В таком уравнении коэффициент при x равен −2a, при y — −2b, при z — −2c. Поэтому центр можно восстановить по линейным коэффициентам, меняя знак и деля их на 2. После определения центра радиус находят из оставшейся постоянной части; при приведении к стандартному виду под корнем должно получиться R².

Если центр совпадает с началом координат, то a = b = c = 0. Все разности координат точки и центра становятся просто x, y и z, поэтому уравнение принимает вид x² + y² + z² = R². Это частный случай общей формулы, а не отдельное правило. Он особенно удобен, когда сферу рассматривают относительно начала координат.

Проверка принадлежности точки основана на самом определении уравнения: для точки фигуры равенство должно быть верным. Подставьте её координаты вместо переменных, сохраняя знаки и скобки, и вычислите левую часть. Если она равна правой, точка лежит на сфере; если нет, не лежит. Для сферы это проверяет, равно ли расстояние до центра радиусу, а не находится ли точка просто внутри сферы.

Аналитическое задание сферы

Сначала выберите строку, соответствующую условию: общая формула подходит для любого центра, а упрощённая — для начала координат. В последней строке вместо x₀, y₀ и z₀ подставляют координаты проверяемой точки. Следите, чтобы в разностях сохранялся порядок «координата точки минус координата центра».

Разбор задач

Задача 1. Запишите уравнение сферы с центром O(1, −2, 3) и радиусом 4. Здесь известны все параметры стандартной формулы, поэтому сначала определим, какая координата центра отвечает каждой скобке. В правой части нужно записать квадрат радиуса, а не сам радиус.

1. Используем формулу (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
2. Подставляем a = 1, b = −2, c = 3 и R = 4.
3. Учитываем знаки координат: y − (−2) = y + 2; вычисляем R² = 16.

Ответ: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16.

Задача 2. Проверьте, принадлежит ли точка A(2, 1, 2) сфере (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16. Чтобы не ошибиться, подставляем каждую координату на место соответствующей переменной, не изменяя знаки в уравнении. Затем сравниваем полученное значение с правой частью.

1. Подставляем: (2 − 1)² + (1 + 2)² + (2 − 3)².
2. Вычисляем: 1² + 3² + (−1)² = 1 + 9 + 1 = 11.
3. Сравниваем 11 и 16: равенства нет, следовательно, точка не принадлежит сфере.

Ответ: точка A(2, 1, 2) не лежит на сфере.

Задача 3. Определите центр и радиус сферы x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z − 2 = 0. Линейные слагаемые подсказывают, какие полные квадраты нужно выделить. При этом добавляемые числа нельзя просто потерять: их влияние обязательно учитывают в правой части.

1. Группируем: (x² − 4x) + (y² + 6y) + (z² − 2z) = 2.
2. Выделяем квадраты: x² − 4x = (x − 2)² − 4; y² + 6y = (y + 3)² − 9; z² − 2z = (z − 1)² − 1.
3. Переносим постоянные: (x − 2)² + (y + 3)² + (z − 1)² = 2 + 4 + 9 + 1 = 16.
4. Сравниваем со стандартным видом: центр O(2, −3, 1), радиус R = √16 = 4.

Ответ: центр сферы — O(2, −3, 1), радиус — 4.

Типичные ошибки

• Иногда считают, что уравнению фигуры удовлетворяют только точки на поверхности, но забывают смысл конкретного условия. Для сферы действительно рассматриваются точки, равноудалённые от центра, а точки внутри удовлетворяют другому условию. Ошибка возникает, если смешать сферу с шаром. Проверьте себя: в уравнении сферы расстояние приравнено радиусу.

• При записи уравнения центра иногда теряют знак: для координаты центра −2 ошибочно пишут (y − 2)². Причина в том, что знак в скобке противоположен знаку координаты, поскольку записывается разность y − b. Чтобы проверить себя, подставьте координаты центра: все выражения в скобках должны обратиться в ноль.

• Ещё одна ошибка — поставить в правую часть R вместо R². Она появляется, если забыть, что расстояние при выводе формулы возводили в квадрат. Проверка проста: если радиус равен 4, правая часть должна быть 16. Размерность выражения также напоминает, что здесь сравниваются квадраты расстояний.

• При выделении полного квадрата часто забывают компенсировать добавленное число или неверно переносят свободный член. Например, x² − 4x = (x − 2)² − 4, а не просто (x − 2)². Ошибку находят, раскрывая полученные скобки и сравнивая исходное уравнение с преобразованным. После приведения к стандартному виду проверьте, что радиус в квадрате положителен.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением сферы нужны координаты точек в пространстве и формула расстояния между двумя точками. Именно формула расстояния переводит условие равноудалённости в уравнение через x, y и z. Если уверенно подставлять координаты и вычислять расстояния, вывод формулы сферы становится понятным, а не просто запоминаемым.

Аналитическое задание помогает решать задачи о взаимном расположении точек и сфер: уравнения позволяют проверять принадлежность точки и находить неизвестные параметры. Тот же подход применяют к другим пространственным фигурам, когда их геометрическое свойство можно выразить через координаты. Поэтому сфера служит примером связи геометрии с алгебраическими уравнениями.

Что запомнить

• Фигура задаётся условием на координаты её точек.
• Уравнение сферы с центром O(a, b, c) имеет вид (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
• Радиус сферы положителен, а в уравнении используется его квадрат.
• Если центр сферы — начало координат, её уравнение: x² + y² + z² = R².
• Чтобы проверить принадлежность точки сфере, подставляют её координаты в уравнение.
• При приведении общего уравнения сферы к стандартному виду выделяют полные квадраты.