§ 26. Аналитическое задание пространственных фигур

Определения и обозначения

Аналитическое задание фигуры — описание того, как координаты каждой её точки связаны уравнением или системой условий. Иначе говоря, геометрическое множество точек переводят на язык координат и алгебры. Такой способ нужен, чтобы исследовать фигуру вычислениями и проверять принадлежность точек без построения чертежа.

Уравнение фигуры — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек фигуры и которому не удовлетворяют координаты точек вне неё. В уравнение подставляют координаты рассматриваемой точки и проверяют, верно ли равенство. Так геометрическое условие становится точным критерием принадлежности.

Уравнение сферы задаёт условие, что расстояние от точки до заданного центра постоянно и равно радиусу. Если центр O(a, b, c), а радиус равен R, уравнение имеет вид (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Оно необходимо, чтобы описать координатами все точки поверхности сферы.

Неравенство шара задаёт внутренние точки вместе с границей: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² ≤ R². Здесь левая часть не превышает квадрата радиуса, поэтому расстояние до центра не больше R. Это условие позволяет отличить весь шар от одной только его поверхности.

Как это устроено

Координаты точки в пространстве записывают как M(x, y, z): три числа показывают её положение относительно координатных осей. Поэтому геометрическое условие, сформулированное для произвольной точки, можно выразить через переменные x, y и z. Например, слова «расстояние до центра равно R» превращаются в равенство для этих координат. Пока точка произвольная, условие описывает возможное множество точек, а не одну конкретную точку.

Уравнение фигуры получают, записывая условие, которое должно выполняться именно для принадлежащей ей точки. Это работает потому, что координаты однозначно задают положение точки, а уравнение может отделить подходящие положения от неподходящих. Если координаты удовлетворяют уравнению, точка принадлежит фигуре; если нет — не принадлежит. Для некоторых фигур требуется не одно равенство, а система условий.

Чтобы получить уравнение сферы, обозначим её центр O(a, b, c), а произвольную точку поверхности — M(x, y, z). По формуле расстояния OM = √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²). На сфере OM = R, поэтому равенство расстояния радиусу после возведения обеих частей в квадрат даёт (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². По стандартной записи видны центр и квадрат радиуса, а сам радиус равен √(R²).

Уравнение сферы содержит равенство, потому что расстояние от её точки до центра точно равно радиусу. Внутри шара расстояние меньше радиуса, а на границе — равно ему, поэтому для шара используют знак «≤». Таким образом, равенство оставляет только границу, а неравенство включает всю область внутри неё. Если заменить «≤» на «<», граница не войдёт в множество.

При проверке принадлежности подставляют числа вместо x, y и z, а затем смотрят, выполняется ли нужное условие. Для сферы полученное значение левой части должно совпасть с R². Для шара оно должно быть меньше или равно R²; строгое сравнение с R² также покажет, находится точка внутри или на границе. Сравнивать нужно именно с квадратом радиуса, поскольку в координатной записи сравниваются квадраты расстояния и радиуса.

Аналитическое задание сферы и шара

Сначала определите, требуется ли описать только поверхность или весь шар, и выберите нужный знак. Затем подставьте координаты центра и квадрат радиуса в условие. При проверке точки используйте тот же критерий: равенство для сферы, неравенство для шара.

Разбор задач

Задача 1. Записать уравнение сферы с центром O(1, −2, 3) и радиусом 4. Здесь сразу известны все элементы стандартной формулы, поэтому достаточно аккуратно перенести координаты центра в скобки. Радиус перед записью справа нужно возвести в квадрат.

1. Записываем общий вид: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
2. Подставляем a = 1, b = −2, c = 3 и R = 4. В скобке для второй координаты получаем y − (−2), то есть y + 2.
3. Вычисляем 4² = 16 и записываем уравнение: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16.

Ответ: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16. Проверить запись можно по центру: числа в скобках дают координаты 1, −2, 3. Правая часть равна квадрату радиуса, а не самому радиусу.

Задача 2. Определить, лежит ли точка A(2, 0, 3) на сфере (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16. Чтобы ответить, выясним, удовлетворяют ли её координаты уравнению поверхности. Вычислять расстояние отдельно не требуется: уравнение уже содержит проверку в виде суммы квадратов.

1. Подставляем x = 2, y = 0, z = 3 в левую часть: (2 − 1)² + (0 + 2)² + (3 − 3)².
2. Вычисляем значения: 1² + 2² + 0² = 1 + 4 + 0 = 5.
3. Сравниваем с правой частью уравнения, равной 16. Получаем 5 ≠ 16, значит, равенство не выполняется.

Ответ: точка A не лежит на сфере. Она также находится внутри соответствующего шара, поскольку 5 < 16. Это последнее сравнение относится к шару и не меняет вывода о принадлежности поверхности.

Задача 3. Для сферы x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z − 11 = 0 найти центр и радиус, затем проверить, лежит ли B(2, −3, 1) внутри шара. Линейные слагаемые пока не позволяют сразу прочитать стандартную форму. Поэтому сначала сгруппируем слагаемые по переменным и выделим полные квадраты.

1. Переносим свободный член: x² − 4x + y² + 6y + z² − 2z = 11.
2. Дополняем каждую группу до квадрата: x² − 4x = (x − 2)² − 4; y² + 6y = (y + 3)² − 9; z² − 2z = (z − 1)² − 1.
3. Подставляем эти выражения и переносим постоянные слагаемые: (x − 2)² + (y + 3)² + (z − 1)² − 14 = 11, то есть (x − 2)² + (y + 3)² + (z − 1)² = 25.
4. Считываем центр O(2, −3, 1) и радиус R = 5. Координаты B совпадают с координатами центра, поэтому расстояние от B до центра равно 0.
5. Так как 0 < 5, точка B находится внутри шара. В форме суммы квадратов это та же проверка: подстановка координат даёт 0, а 0 < 25.

Ответ: центр сферы O(2, −3, 1), радиус 5; точка B лежит внутри соответствующего шара. Выделение квадратов помогает преобразовать уравнение к форме, в которой центр и радиус определяются непосредственно. Для проверки внутренней точки сравнивают расстояние с R или сумму квадратов с R².

Типичные ошибки

Путать сферу с шаром. Тогда для поверхности используют неравенство или, наоборот, для всего шара оставляют только равенство. Ошибка возникает потому, что в обычной речи эти слова иногда употребляют как синонимы. Проверьте смысл условия: поверхность задаётся равенством, весь шар — знаком «≤».

Записывать радиус вместо его квадрата. В правой части уравнения сферы должно стоять R², иначе условие расходится с формулой расстояния. Часто радиус подставляют в формулу, не замечая, что расстояние возводилось в квадрат. Подставьте известные R и посчитайте его квадрат отдельно.

Терять знак координаты центра в скобке. Например, центру с координатой −2 соответствует выражение y + 2, а не y − 2. Это происходит из-за того, что в формуле стоит разность координаты точки и координаты центра. Для самопроверки раскройте скобку мысленно или подставьте координату центра: соответствующая разность должна обратиться в ноль.

Сравнивать результат с радиусом, а не с его квадратом. При подстановке в левую часть уравнения получается квадрат расстояния, поэтому его сравнивают с R². Ошибка возникает, когда вспоминают геометрический смысл «расстояние меньше радиуса», но забывают о квадрате в записи. Можно либо сравнить сумму с R², либо извлечь корень и сравнить расстояние с R.

Связь с другими темами

Для координат точки в пространстве нужны три числа x, y и z, а вывод уравнения сферы опирается на формулу расстояния между двумя точками. Поэтому полезно уверенно вычислять разности координат и возводить их в квадрат. Аналитическое задание связывает геометрию с алгебраическими уравнениями и неравенствами: геометрические свойства становятся условиями для переменных. Этот подход пригодится в задачах о взаимном расположении точек и сфер и при изучении уравнений других поверхностей.

Что запомнить

• Координаты точки, принадлежащей фигуре, должны удовлетворять задающему её условию.
• Сфера — множество точек, находящихся на одном и том же расстоянии от центра.
• В уравнении сферы справа стоит квадрат радиуса.
• Равенство задаёт сферу, а неравенство с «≤» — шар вместе с границей.
• Чтобы проверить принадлежность точки, подставляют её координаты в условие.
• При приведении уравнения к стандартному виду центр находят по выражениям в скобках.