"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Прямую в пространстве удобно задавать точкой на ней и ненулевым направляющим вектором — вектором, параллельным прямой. По этим данным составляют параметрические уравнения, а исключив общий параметр, получают каноническую запись. Если известны две различные точки прямой, направляющий вектор находят как разность их радиус-векторов. Эти уравнения помогают проверять принадлежность точки прямой и исследовать взаимное положение прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Направляющий вектор прямой — ненулевой вектор, параллельный этой прямой; его координаты задают направление прямой. Например, если a = (l, m, n), то числа l, m и n показывают, как меняются координаты при движении вдоль прямой. Это понятие позволяет описать направление численно и записать уравнения прямой.
Параметрическое уравнение прямой — три равенства координат точки прямой, выраженных через один общий параметр. Обычно параметр обозначают t: меняя его значение, получают координаты разных точек одной прямой. Такая запись нужна, чтобы находить точки прямой и проверять, принадлежит ли ей заданная точка.
Каноническое уравнение прямой — равенство отношений разностей координат точки и фиксированной точки к координатам направляющего вектора. В этой записи координаты прямой связаны одним общим значением отношений. Она компактна и позволяет сразу сопоставить изменение каждой координаты с направлением прямой.
Уравнение прямой через две точки — запись прямой, заданной двумя различными точками, с использованием координат этих точек. Разности соответствующих координат показывают направление от первой точки ко второй. Такая форма помогает построить уравнение, даже если направляющий вектор отдельно не дан.
Чтобы задать прямую в пространстве, достаточно указать точку M₀ на ней и направляющий вектор a. Действительно, положение точки определяет, где проходит прямая, а вектор указывает, в какую сторону она продолжается. Любую другую точку M на прямой можно получить, прибавив к радиус-вектору M₀ вектор ta, где t — число. Когда t меняется, точка движется вдоль прямой; отрицательное значение задаёт движение в противоположную сторону. Нулевой вектор использовать нельзя: он не задаёт направления, а выражение M₀ + t·0 описывает только одну точку.
Запишем векторное равенство для точки M(x, y, z): OM = OM₀ + ta. Координаты равных векторов равны, поэтому из него получаем x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt. Один и тот же параметр нужен потому, что все три числа должны описывать одну точку, полученную одним и тем же смещением вдоль вектора. Если бы для каждой координаты был отдельный параметр, можно было бы независимо менять координаты и получать точки не на этой прямой. При t = 0 получаем исходную точку M₀, а при других значениях — остальные точки.
Каноническую запись получают, выразив параметр из каждого параметрического равенства: например, t = (x − x₀)/l. Все эти выражения равны одному и тому же t, поэтому их можно приравнять друг к другу и записать как цепочку отношений. Этот переход допустим только для ненулевых координат направляющего вектора: делить на ноль нельзя. Если, например, l = 0, то из первого параметрического равенства следует x = x₀ при любом t. Поэтому вместо дроби с нулевым знаменателем записывают это равенство постоянной координаты, а остальные отношения оставляют без изменений.
Если известны две различные точки M₁ и M₂, вектор M₁M₂ получают вычитанием координат начала из координат конца: (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁). Он ненулевой, поскольку точки различны, и параллелен прямой через них. Поэтому M₁ можно взять за фиксированную точку, а M₁M₂ — за направляющий вектор, после чего записать параметры или каноническое уравнение. Порядок вычитания можно поменять, но тогда изменится направление вектора на противоположное, а сама прямая останется той же.
Уравнения помогают не только описывать прямую, но и решать геометрические задачи. Чтобы проверить принадлежность точки, подставляют её координаты и выясняют, существует ли одно значение параметра, подходящее для всех трёх равенств. Для двух прямых приравнивают координаты их текущих точек и решают систему относительно двух параметров. Если найденные значения удовлетворяют всем трём координатным равенствам, у прямых есть общая точка; если система несовместна, пересечения нет. Направляющие векторы также сравнивают, чтобы выяснить, параллельны ли прямые.
| Способ записи | Заданные данные | Общий вид | Особенность |
|---|---|---|---|
| Параметрические уравнения | Точка M₀(x₀, y₀, z₀) и вектор a = (l, m, n) | x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt | Один и тот же параметр t задаёт все три координаты |
| Каноническое уравнение | Точка M₀(x₀, y₀, z₀) и вектор a = (l, m, n) | (x − x₀)/l = (y − y₀)/m = (z − z₀)/n | Если координата направляющего вектора равна нулю, соответствующую дробь заменяют равенством постоянной координаты |
| Уравнение через две точки | Две различные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) | (x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (z − z₁)/(z₂ − z₁) | Разности координат точек задают направляющий вектор; нулевые разности учитывают отдельно |
Сначала определите, какие данные известны: точка с вектором или две точки. Затем выберите запись, в которой эти данные можно подставить непосредственно. Перед делением проверьте координаты направляющего вектора: нулевую координату нужно заменить условием постоянства соответствующей координаты.
Условие. Составить параметрические уравнения прямой через A(1, −2, 3), параллельной вектору a = (2, 1, −1). Координаты точки дают x₀ = 1, y₀ = −2, z₀ = 3. Направляющий вектор уже известен, поэтому дополнительных вычислений для его поиска не требуется.
Ответ: x = 1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − t.
Условие. Записать каноническое уравнение прямой через A(0, 1, 2) и B(2, 4, 1). Для канонической формы нужны точка на прямой и направляющий вектор. Возьмём точку A, а вектор найдём по координатам B − A.
Ответ: x/2 = (y − 1)/3 = (z − 2)/(−1).
Условие. Определить, пересекаются ли прямые x = 1 + t, y = 2 − t, z = t и x = 3 − s, y = s, z = 2 + s, и найти точку пересечения, если она есть. Для общей точки координаты, заданные параметром t первой прямой, должны совпасть с координатами, заданными параметром s второй. Поэтому приравниваем соответствующие координаты.
Ответ: прямые пересекаются в точке (3, 0, 2).
Нулевой направляющий вектор не задаёт направление прямой, хотя его иногда получают при вычитании координат одной и той же точки или при неверных вычислениях. Проверьте, что хотя бы одна координата вектора отлична от нуля; для двух различных точек вектор между ними обязательно ненулевой.
Если в трёх параметрических уравнениях поставить разные параметры, координаты перестанут описывать одно общее смещение вдоль прямой. Такую запись ошибочно принимают за три независимых условия. Проверьте, что в каждом равенстве стоит одно и то же t, и подставьте, например, t = 0: должны получиться координаты фиксированной точки.
При записи канонического уравнения нельзя делить на нулевую координату направляющего вектора. Ошибка возникает, когда формулу механически применяют без проверки знаменателей. Если, например, l = 0, запишите x = x₀, а дроби оставьте только для ненулевых координат; это также согласуется с параметрической формой.
При построении уравнения через две точки можно вычесть координаты в разном порядке и получить несовместимые знаки в отдельных компонентах. Тогда вектор уже не соединяет выбранные точки, хотя отдельные вычисления выглядят правдоподобно. Вычитайте координаты конца из координат начала последовательно по всем осям и проверьте, что прибавление найденного вектора к первой точке даёт вторую.
Для уравнений прямой нужны координаты точек и векторов в пространстве, правила действий с векторами и условие коллинеарности. Коллинеарные ненулевые векторы задают одно и то же направление, поэтому направляющий вектор можно умножать на ненулевое число. Эти записи применяют при изучении взаимного расположения прямых, прямой и плоскости, а также при вычислении расстояний и углов в пространстве. Сравнение направлений и решение систем превращают такие геометрические вопросы в алгебраические.
Какие данные нужны, чтобы задать прямую в пространстве?
Достаточно указать точку M₀(x₀, y₀, z₀) на прямой и ненулевой направляющий вектор a = (l, m, n). Точка задаёт положение прямой, а вектор — её направление.
Как из параметрических уравнений получить каноническое уравнение?
В параметрических уравнениях выражают общий параметр через каждую координату: t = (x − x₀)/l, t = (y − y₀)/m, t = (z − z₀)/n. Приравнивая эти выражения, получают каноническую запись. Если знаменатель равен нулю, соответствующую координату записывают как постоянную.
Что делать, если одна из координат направляющего вектора равна нулю?
Не нужно делить на ноль. Если, например, l = 0, то x = x₀ для всех точек прямой, а две остальные координаты записывают обычным способом.
Как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?
Вычтите координаты первой точки из координат второй: вектор M₁M₂ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁) будет направляющим. Возьмите за фиксированную точку M₁ и подставьте её координаты и найденный вектор в параметрические или канонические уравнения.
Как проверить, принадлежит ли заданная точка прямой?
Подставьте координаты точки в параметрические уравнения и проверьте, получается ли одно и то же значение параметра во всех трёх равенствах. В канонической записи сравните отношения, не деля на нулевые координаты направляющего вектора.
§ 25*. Уравнения прямой в пространстве
