"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Плоскость в пространстве можно задать линейным уравнением с тремя переменными. Его коэффициенты помогают сразу определить нормальный вектор — вектор, перпендикулярный плоскости, — а подстановка координат точки показывает, принадлежит ли она плоскости. Уравнение удобно составлять по точке и нормальному вектору, а также использовать при решении задач о взаимном расположении прямых и плоскостей, углах и расстояниях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Плоскость в пространстве можно описать как множество точек, координаты которых удовлетворяют одному линейному уравнению с тремя переменными x, y и z. Например, все тройки координат, для которых Ax + By + Cz + D = 0, образуют плоскость, если A, B и C не равны нулю одновременно. Такая запись превращает геометрическое множество в условие, которое можно проверить вычислением. Это позволяет работать с плоскостью методами координат.
Уравнение плоскости — уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки плоскости и которому не удовлетворяют координаты точек вне неё. Иными словами, найденные решения уравнения и есть точки этой плоскости. Это определение помогает понять, что уравнение не просто связано с плоскостью, а точно задаёт её. Поэтому для проверки точки достаточно подставить её координаты.
Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Его обычно обозначают n; если n = (A, B, C), то A, B и C задают направление перпендикуляра к плоскости. Зная нормальный вектор и одну точку плоскости, можно составить её уравнение. Нулевой вектор для этого не подходит: у него нет определённого направления.
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C не равны нулю одновременно. Коэффициенты при координатах образуют нормальный вектор (A, B, C), а D — свободный член. Общий вид удобен тем, что по одной записи можно извлечь и условие для точек плоскости, и направление её нормали. Одну и ту же плоскость можно записать разными уравнениями, умножив все коэффициенты на одно ненулевое число.
Пусть известны точка M₀(x₀, y₀, z₀) плоскости и её нормальный вектор n = (A, B, C). Возьмём любую точку M(x, y, z) этой плоскости и рассмотрим вектор M₀M = (x − x₀, y − y₀, z − z₀). Он лежит в плоскости, поэтому перпендикулярен нормальному вектору. По признаку перпендикулярности скалярное произведение этих векторов равно нулю, откуда получается уравнение A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0.
Это равенство описывает именно плоскость через M₀ с нормалью n, а не какое-то более узкое множество. Во-первых, координаты самой M₀ обращают все три разности в ноль, поэтому точка принадлежит уравнению. Во-вторых, для любой другой точки, удовлетворяющей равенству, вектор M₀M перпендикулярен n и потому лежит в плоскости, перпендикулярной n через M₀. Такая плоскость единственна, значит, уравнение задаёт её целиком.
Раскроем скобки: Ax − Ax₀ + By − By₀ + Cz − Cz₀ = 0. Перенеся постоянные слагаемые в одну часть, получим Ax + By + Cz + D = 0, где D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀. Коэффициенты при x, y и z остаются координатами нормального вектора, потому что именно они входят в скалярное произведение с вектором между точками. Поэтому по общему уравнению нормаль восстанавливают сразу: n = (A, B, C).
Почему общего вида достаточно для задания плоскости? Если A, B, C не равны нулю одновременно, вектор (A, B, C) ненулевой и задаёт нормальное направление. Кроме того, уравнение имеет хотя бы одну точку-решение: можно выбрать координату с ненулевым коэффициентом и выразить её через две другие. Все решения образуют плоскость, перпендикулярную этому нормальному вектору.
При проверке точки P(p, q, r) подставляют её координаты в уравнение: вычисляют Ap + Bq + Cr + D. Если результат равен нулю, координаты точки удовлетворяют уравнению, и P лежит на плоскости. Если получается ненулевое число, точка находится вне плоскости. Проверять нужно все три координаты на своих местах: коэффициент при x умножается именно на первую координату.
| Форма | Уравнение | Какие данные задают плоскость | Нормальный вектор |
|---|---|---|---|
| Через точку и нормальный вектор | A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 | Точка (x₀, y₀, z₀) и ненулевой вектор (A, B, C) | (A, B, C) |
| Общее уравнение | Ax + By + Cz + D = 0 | Коэффициенты A, B, C, D; A, B, C не равны нулю одновременно | (A, B, C) |
| Переход от уравнения через точку к общему виду | Ax + By + Cz − Ax₀ − By₀ − Cz₀ = 0 | Точка и нормальный вектор; свободный член D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀ | (A, B, C) |
Пользуйтесь первой строкой, когда известны точка плоскости и её нормаль; после подстановки этих данных сразу получается уравнение. Общий вид особенно удобен для проверки точек и определения нормального вектора. При переходе между формами следите за знаком свободного члена и проверяйте, что точка, через которую проходит плоскость, удовлетворяет итоговой записи.
Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через A(1, −2, 3) и имеющей нормальный вектор n = (2, 1, −1). Даны все составляющие формулы через точку и нормальный вектор: координаты точки идут в разности, а координаты нормали становятся коэффициентами при этих разностях. Важно не потерять минус у третьей координаты нормали. Решение:
Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Конкретные координаты можно подставить вместо буквенных на каждом шаге; общий способ не меняется. Нужна нормаль, поэтому из двух векторов плоскости построим вектор, перпендикулярный обоим. Решение:
Задача 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую и точку Q, не лежащую на этой прямой. Пусть прямая проходит через P и имеет направляющий вектор u, а точка задана координатами Q. Прямая и внешняя точка определяют единственную плоскость, поэтому достаточно получить её нормаль и воспользоваться известной точкой P. Решение:
Иногда допускают A = B = C = 0, поскольку в общем уравнении есть ещё свободный член D. Но тогда остаётся равенство D = 0: при D ≠ 0 решений нет, а при D = 0 ему удовлетворяют все точки пространства. Ни один случай не задаёт плоскость. Проверяйте перед решением, что хотя бы один коэффициент при координатах ненулевой.
При составлении уравнения через точку можно забыть вычесть её координаты и записать Ax + By + Cz = 0. Так получается плоскость, проходящая через начало координат, а не обязательно через заданную точку. Ошибку допускают, перенося привычные коэффициенты общего уравнения в формулу через точку без изменения записи. Проверка: подставьте координаты заданной точки — они обязаны обратить уравнение в равенство.
Вектор (A, B, C) иногда принимают за направляющий вектор плоскости. На деле он перпендикулярен плоскости, поэтому это её нормаль; направляющие векторы плоскости, напротив, перпендикулярны ему. Путаница возникает из-за того, что оба вида векторов связаны с плоскостью. Проверьте назначение скалярным произведением: нормаль должна быть перпендикулярна каждому направлению, лежащему в плоскости.
При раскрытии скобок часто теряют знак, особенно в выражении −C(z − z₀), или неверно переносят постоянное слагаемое. Такая ошибка меняет свободный член и может привести к другой плоскости. Чтобы проверить преобразования, раскройте каждую скобку отдельно, а затем подставьте в итоговую запись исходную точку. Если результат не равен нулю, ищите ошибку в знаках или арифметике.
Для вывода уравнения нужны координаты точек и векторов в пространстве, а также скалярное произведение. Условие перпендикулярности векторов — нулевое скалярное произведение — связывает нормаль с векторами, лежащими в плоскости. Оно же объясняет, почему коэффициенты при координатах становятся координатами нормального вектора. Значит, тема опирается на уже знакомые координатные методы и свойства векторов.
Уравнение плоскости пригодится при изучении взаимного расположения плоскостей и прямых: координатные условия позволяют выяснить, пересекаются ли объекты или параллельны. Оно также используется в задачах на расстояния и углы в пространстве. Например, нормальные векторы помогают находить угол между плоскостями, а подстановка координат позволяет проверить принадлежность точки плоскости.
Почему уравнение плоскости содержит три переменные?
Точка в пространстве задаётся тремя координатами x, y и z. Поэтому уравнение плоскости связывает именно эти три числа; его решениями становятся координаты всех точек плоскости.
Как по общему уравнению найти нормальный вектор плоскости?
В уравнении Ax + By + Cz + D = 0 нормальный вектор имеет координаты (A, B, C). Эти коэффициенты не могут одновременно равняться нулю.
Можно ли умножить уравнение плоскости на ненулевое число?
Да. При умножении обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число множество его решений не меняется, поэтому плоскость остаётся той же.
Как проверить, лежит ли точка на заданной плоскости?
Подставьте координаты точки вместо x, y и z в уравнение плоскости. Если равенство выполняется, точка лежит на плоскости; если нет — не лежит.
Какие данные позволяют однозначно составить уравнение плоскости?
Достаточно задать точку плоскости и ненулевой нормальный вектор. Также плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, или прямой и точкой вне неё.
§ 24. Уравнение плоскости в пространстве
