§ 23. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Углом между ненулевыми векторами называют угол от 0° до 180°, образованный их сонаправленными представителями с общим началом. Сонаправленные представители — это векторы, параллельные исходным и направленные так же. Такой способ позволяет говорить об угле между векторами, даже если изначально они расположены в разных местах. Нулевой вектор исключён: у него нет направления.

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a·b = |a||b| cos φ. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а φ — угол между ними. Результат является числом, а не вектором. Определение нужно, чтобы связать геометрическое расположение векторов с вычислением.

Для векторов a = (a₁, a₂, a₃) и b = (b₁, b₂, b₃) координатная формула имеет вид a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Компоненты с одинаковыми индексами перемножают, а полученные числа складывают. Формула полезна, когда известны координаты, но угол между векторами не задан. Для векторов на плоскости используют ту же запись без третьих координат.

Ортогональными называют векторы, угол между которыми равен 90°, то есть они перпендикулярны. Поскольку cos 90° = 0, их скалярное произведение равно нулю. Это определение удобно применять вместе с координатной формулой: проверку перпендикулярности можно свести к вычислению суммы произведений координат. Условие относится к ненулевым векторам.

Как это устроено

Геометрическое определение связывает произведение с длинами и взаимным направлением векторов. Длины неотрицательны, поэтому знак результата задаёт cos φ: при остром угле косинус положителен, при прямом равен нулю, при тупом отрицателен. Поэтому одно вычисление позволяет понять тип угла. При этом значение зависит не только от угла, но и от длин обоих векторов.

Координатная формула следует из геометрического определения и теоремы косинусов. Если рассмотреть треугольник, образованный векторами a, b и их разностью, то теорема косинусов выражает cos φ через длины этих векторов. Подстановка координатных формул длин приводит к сумме попарных произведений соответствующих координат. Так можно вычислить результат напрямую, не строя векторы и не находя угол.

Скалярное произведение коммутативно: a·b = b·a, потому что угол и длины не меняются при перестановке векторов. Оно также распределительно относительно сложения: a·(b + c) = a·b + a·c. Это свойство позволяет раскрывать скобки и заменять сложный расчёт несколькими более простыми. Если один вектор умножить на число λ, то (λa)·b = λ(a·b): при увеличении вектора в λ раз произведение изменяется во столько же раз, включая знак при отрицательном λ.

Если в формулу подставить один и тот же вектор дважды, угол между ним и собой равен 0°, а cos 0° = 1. Поэтому a·a = |a|²: произведение вектора на себя равно квадрату его длины. Для a = (a₁, a₂, a₃) это даёт |a|² = a₁² + a₂² + a₃², откуда длина равна √(a₁² + a₂² + a₃²). Так координаты позволяют находить длину без построения.

Для ненулевых векторов условие a·b = 0 равносильно перпендикулярности: из геометрической формулы нулевое произведение означает cos φ = 0, а в пределах от 0° до 180° это происходит при φ = 90°. Если требуется найти угол, формулу определения преобразуют к виду cos φ = (a·b)/(|a||b|). Сначала вычисляют произведение и длины, затем по значению косинуса находят угол. Деление возможно, только если длины ненулевые.

Основные свойства скалярного произведения

Выбирайте строку по тому, что дано и что требуется найти: угол, длину или факт перпендикулярности. Для координатных задач сначала вычислите произведение соответствующих координат и их сумму. Проверяйте, что условие о ненулевых векторах выполнено, если используете критерий перпендикулярности.

Разбор задач

Длины векторов a и b равны 5 и 3, а угол между ними равен 60°. Найдите a·b. Здесь сразу известны величины из геометрического определения, поэтому координаты вводить не нужно. Достаточно подставить длины и косинус заданного угла.

1. Запишем формулу: a·b = |a||b| cos φ. Она применима, потому что известны обе длины и угол между векторами.
2. Подставим данные: a·b = 5 · 3 · cos 60°. Так как cos 60° = ½, произведение равно 15 · ½ = 7,5.
3. Проверим знак: угол 60° острый, значит косинус и результат должны быть положительными. Полученное число этому соответствует.

Ответ: 7,5.

Даны векторы a = (1, −2, 2) и b = (3, 1, −1). Найдите a·b и определите, острый или тупой угол они образуют. Координаты позволяют воспользоваться формулой, а знак произведения подскажет вид угла. На этом этапе точное значение угла находить не требуется.

1. Перемножим соответствующие координаты: 1 · 3, (−2) · 1 и 2 · (−1). Важно не складывать исходные координаты напрямую.
2. Сложим результаты: a·b = 3 − 2 − 2 = −1. Получилось отрицательное число.
3. Для ненулевых векторов отрицательное скалярное произведение означает, что cos φ < 0. Значит, угол между ними тупой.

Ответ: a·b = −1; угол тупой.

При каком значении m векторы a = (m, 2, −1) и b = (2, −1, 3) перпендикулярны? Перпендикулярность ненулевых векторов равносильна нулевому скалярному произведению. Поэтому неизвестное значение найдём из уравнения, составленного по координатам.

1. Вычислим произведение: a·b = m · 2 + 2 · (−1) + (−1) · 3. Здесь координату m тоже умножаем на соответствующую координату второго вектора.
2. Упростим выражение: a·b = 2m − 2 − 3 = 2m − 5. Для перпендикулярности приравняем его к нулю: 2m − 5 = 0.
3. Решим уравнение: 2m = 5, поэтому m = 5/2. При этом оба вектора ненулевые, так что критерий применим.

Ответ: m = 5/2.

Типичные ошибки

Скалярное произведение иногда путают с векторным и записывают результат как вектор. Причина — похожие названия и оба действия с векторами, но здесь итогом служит число. Проверьте ответ: после вычислений по формуле координат должна получиться сумма чисел, а не набор координат.

Другая ошибка — складывать координаты вместо умножения соответствующих. Обычно так происходит, когда формулу запоминают как «что-то с суммой координат». Запишите её целиком: a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, а затем отдельно проверьте каждую пару компонентов. Если перемножения нет, координатная формула применена неверно.

В геометрической формуле могут подставить не тот угол. Угол между векторами определён через сонаправленные представители с общим началом, поэтому угол из рисунка или треугольника не всегда совпадает с ним. Перед подстановкой проверьте, какие именно лучи образуют угол, и что значение лежит от 0° до 180°. Полезная проверка — знак косинуса должен соответствовать виду угла.

Нулевое произведение иногда считают доказательством перпендикулярности в любом случае. Ошибка возникает из-за того, что забывают: направление нулевого вектора не определено, а вместе с ним не определён и угол. Критерий a·b = 0 формулируют для ненулевых векторов. Перед выводом о перпендикулярности проверьте длины обоих векторов.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны координаты и длины векторов, сложение векторов и теорема косинусов. Координаты дают вычислительный способ, а теорема косинусов помогает понять связь координатной формулы с геометрическим определением. Поэтому полезно уметь переходить от геометрического изображения к записи в координатах.

Скалярное произведение применяют, чтобы находить углы и длины, проверять перпендикулярность, решать задачи о прямых и плоскостях в пространстве. В частности, перпендикулярность можно выразить уравнением для координат, а угол — через косинус. Это превращает геометрические условия в вычисления с числами.

Что запомнить

• a·b = |a||b| cos φ.
• В координатах произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
• a·b = b·a.
• a·(b + c) = a·b + a·c.
• a·a = |a|².
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.