§ 22. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координаты точки — числа, задающие её положение относительно начала координат и трёх осей в пространстве. Например, запись A(x; y; z) показывает, как расположена точка по каждому из трёх направлений. Координаты нужны, чтобы точно задавать положение точки и находить расстояния между точками.

Координаты вектора — числа, показывающие, на сколько единиц вектор направлен вдоль каждой из трёх координатных осей. Их записывают в определённом порядке: (a₁; a₂; a₃), где каждое число отвечает своей оси. Такая запись позволяет описывать направление перемещения и выполнять вычисления без построения чертежа.

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с данной точкой. Если точка имеет координаты (x; y; z), то её радиус-вектор имеет те же координаты. Это помогает связать координаты точки с координатами вектора.

Единичные координатные векторы — векторы длины 1, направленные вдоль положительных направлений координатных осей; их обозначают i, j, k. Они служат основой, через которую можно выразить любой вектор: коэффициенты при i, j и k показывают его координаты. Единичная длина упрощает такое разложение.

Как это устроено

Чтобы задавать положение в пространстве числами, выбирают три взаимно перпендикулярные координатные оси и единичные векторы вдоль них. Перпендикулярность важна: перемещение вдоль одной оси не меняет положения по двум другим. Поэтому каждую точку и каждый вектор можно описать тремя независимыми числами, по одному на каждое направление.

Любой вектор можно разложить по трём единичным координатным векторам: a = a₁i + a₂j + a₃k. Это разложение возможно, потому что направления i, j и k задают три измерения пространства, а числовые коэффициенты определяют вклад вектора вдоль каждого из них. Коэффициенты a₁, a₂ и a₃ и называют координатами вектора. Благодаря этому векторная задача переводится в вычисления с упорядоченными тройками.

Пусть A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂). Чтобы перейти из A в B, нужно изменить первую координату на x₂ − x₁, вторую на y₂ − y₁, третью на z₂ − z₁; поэтому AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Именно координаты конца минус координаты начала дают перемещение в нужном направлении. Если поменять порядок точек, получится противоположный вектор.

Векторы равны, если у них одинаковы направление и длина, поэтому их составляющие вдоль каждой оси тоже совпадают. Значит, равные векторы имеют равные координаты, а противоположные — координаты с противоположными знаками. Координаты позволяют проверить равенство векторов простым сравнением троек. При этом векторы могут иметь разные начальные точки и всё же быть равными.

При сложении и вычитании перемещения по каждой оси объединяются независимо: (a₁; a₂; a₃) + (b₁; b₂; b₃) = (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃). Умножение на число также меняет каждую составляющую: λ(a₁; a₂; a₃) = (λa₁; λa₂; λa₃). Длина находится по теореме Пифагора, применённой к трём взаимно перпендикулярным составляющим: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Так координатные формулы следуют из геометрического смысла перемещения и взаимной перпендикулярности осей.

Координатная запись векторов и действия над ними

Сначала определите, какая строка таблицы соответствует вашей задаче: например, для вектора между точками используйте строку с координатами A и B. Затем выполняйте действия отдельно с первой, второй и третьей координатами, не меняя их порядок. Для длины сначала возведите все три координаты в квадрат, сложите их и только потом извлеките корень.

Разбор задач

Даны точки A(1; −2; 3) и B(4; 0; −1). Найдите координаты вектора AB. Здесь важно определить направление: AB начинается в A и заканчивается в B, поэтому из координат B вычитаем соответствующие координаты A. Вычислим разности по очереди: 4 − 1 = 3, 0 − (−2) = 2, −1 − 3 = −4.

1. Записываем координаты конца B: (4; 0; −1), а начала A: (1; −2; 3).
2. Вычитаем координаты A из координат B: AB = (4 − 1; 0 − (−2); −1 − 3).
3. Вычисляем каждую компоненту: AB = (3; 2; −4).

Ответ: AB = (3; 2; −4). Отрицательная третья координата означает, что перемещение направлено против положительного направления третьей оси. Проверка знака особенно полезна при разности отрицательных чисел.

Даны векторы a = (2; −1; 3) и b = (−4; 5; 1). Найдите 2a − b. Сначала умножаем каждую координату a на 2, затем вычитаем соответствующие координаты b. Нельзя вычитать, например, вторую координату одного вектора из первой координаты другого: компоненты должны оставаться на своих местах.

1. Умножаем a на 2: 2a = (4; −2; 6).
2. Вычитаем b покомпонентно: 2a − b = (4 − (−4); −2 − 5; 6 − 1).
3. Вычисляем: 2a − b = (8; −7; 5).

Ответ: (8; −7; 5). При вычитании отрицательной первой координаты b фактически прибавили 4. Проверить результат можно повторным сравнением каждой координаты с исходной формулой.

Найдите координаты точки C, если A(−1; 2; 0) и AC = (3; −4; 5), а затем вычислите длину AC. Координаты вектора от A к C получаются как координаты C минус координаты A. Значит, чтобы найти конец, нужно к координатам начала прибавить координаты вектора; после этого применяем формулу длины.

1. Обозначим C(x; y; z). Из AC = (x − (−1); y − 2; z − 0) = (3; −4; 5) получаем x + 1 = 3, y − 2 = −4, z = 5.
2. Находим координаты: x = 2, y = −2, z = 5, поэтому C(2; −2; 5).
3. Вычисляем длину: |AC| = √(3² + (−4)² + 5²) = √(9 + 16 + 25) = √50 = 5√2.

Ответ: C(2; −2; 5), |AC| = 5√2. Проверить найденную точку можно, вычитая координаты A из координат C: должны получиться 3, −4 и 5. При вычислении длины все три координаты возводятся в квадрат, поэтому знак отрицательной компоненты не влияет на результат.

Типичные ошибки

При нахождении AB иногда вычитают координаты конца из координат начала. Так происходит, когда забывают, что вектор описывает перемещение от первого названного пункта ко второму. Проверьте запись по правилу: AB — это B минус A; при перестановке точек должен получиться противоположный вектор с тремя противоположными координатами.

При сложении и умножении векторов можно случайно смешать координаты, например сложить первую координату одного вектора со второй координатой другого. Причина обычно в том, что тройку воспринимают как набор чисел без фиксированного порядка. Сверяйте компоненты по позициям: первая с первой, вторая со второй, третья с третьей.

Координаты вектора иногда принимают за координаты его конечной точки. Это верно только для радиус-вектора, который начинается в начале координат; если начало находится в другой точке, нужно учитывать обе точки. Для проверки найдите разность координат конца и начала и убедитесь, что она даёт именно координаты вектора.

В формуле длины можно забыть возвести одну из координат в квадрат или извлечь квадратный корень. Ошибка возникает из-за того, что пространственную формулу применяют по памяти, не проверяя все действия. Записывайте длину полностью: √(a₁² + a₂² + a₃²); результат не может быть отрицательным, поскольку это длина.

Связь с другими темами

Для работы с координатами вектора нужны навыки работы с прямоугольной системой координат на плоскости, координатами точек и теоремой Пифагора. Полученные формулы позволяют решать задачи на расстояния, параллельность и перпендикулярность векторов в пространстве. Координатная запись связывает геометрические рассуждения с вычислениями и готовит к изучению скалярного произведения векторов.

Что запомнить

• Координаты вектора — упорядоченная тройка чисел.
• Координаты AB равны координатам конца B минус координаты начала A.
• Равные векторы имеют равные координаты.
• При сложении и вычитании векторов действуют с соответствующими координатами.
• При умножении вектора на число на это число умножают каждую координату.
• Длина вектора (a₁; a₂; a₃) равна √(a₁² + a₂² + a₃²).