§ 1. Координаты вектора

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого отмечены начало и конец. Он задаёт перемещение: откуда и куда нужно двигаться, поэтому одного указания длины недостаточно. Вектор обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой сверху, например AB, или одной маленькой буквой со стрелкой.

Координаты точки — числа, которые показывают её положение на координатной плоскости. Если начало вектора A имеет координаты (x₁; y₁), а конец B — (x₂; y₂), то вектор AB имеет координаты (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Такая запись нужна, чтобы описывать перемещение числами, а не только рисунком.

Координаты вектора — упорядоченная пара чисел, показывающая, как меняются координаты при движении от начала вектора к концу. Первое число отвечает за горизонтальное перемещение, второе — за вертикальное. Порядок чисел важен: запись (2; 5) означает не то же самое, что (5; 2).

Как это устроено

Чтобы понять, почему координаты вектора находят вычитанием, представь движение из точки A в точку B. Координата конца показывает, где мы оказались, а координата начала — откуда отправились; разность этих чисел показывает изменение положения. Поэтому из координаты конца вычитают координату начала, причём отдельно для каждой оси.

Пусть A(1; 2), B(4; 6). По горизонтали точка сместилась с 1 до 4, значит, изменение равно 4 − 1 = 3; по вертикали — с 2 до 6, то есть 6 − 2 = 4. Следовательно, AB = (3; 4). Здесь не важно, где именно расположен вектор на плоскости: важны только величины перемещений по двум направлениям.

Если координата конца меньше координаты начала, разность будет отрицательной. Например, переход от x = 5 к x = 2 даёт 2 − 5 = −3: движение направлено влево. Аналогично отрицательная вторая координата показывает движение вниз. Знак помогает сохранить направление, которое нельзя передать одной длиной отрезка.

У векторов могут быть разные начальные точки, но одинаковые координаты. Это значит, что при перемещении каждый из них проходит одинаковое расстояние в одном и том же направлении, поэтому такие векторы равны. Например, векторы (3; 1), отложенные от разных точек, оба задают движение на 3 единицы вправо и на 1 вверх.

Если начало и конец совпадают, обе разности равны нулю. Получается нулевой вектор с координатами (0; 0): он не задаёт перемещения. Этот случай полезно проверять отдельно, поскольку он возникает, когда рассматривают вектор из точки в неё же.

Формула работает и тогда, когда координаты отрицательные. Главное — аккуратно подставлять числа вместе со знаками: выражение 3 − (−2) равно 5, а не 1. Скобки помогают увидеть, что из координаты конца вычитается всё значение координаты начала.

Как найти координаты вектора

Сначала определи, какая точка является началом, а какая — концом: от этого зависит порядок вычитания. Затем вычисли отдельно горизонтальную и вертикальную разности, не теряя знаки. Таблица помогает выбрать нужное действие и проверить, что координаты записаны в правильном порядке.

Разбор задач

Задача. Найди координаты вектора AB, если A(−2; 3), B(4; −1). Затем проверь, равен ли ему вектор CD с координатами C(1; 2), D(7; −2). В задаче важно не складывать координаты точек, а сравнить перемещения от начала к концу.

1. Сначала записываем формулу: координаты вектора AB получаются вычитанием координат A из координат B. Значит, отдельно найдём разность абсцисс (координат по горизонтали) и разность ординат (координат по вертикали).

2. Вычисляем первую координату: 4 − (−2) = 4 + 2 = 6. Минус перед отрицательным числом превращается в плюс, поэтому нельзя просто отбросить скобки или изменить знак наугад.

3. Вычисляем вторую координату: −1 − 3 = −4. Итак, AB = (6; −4): движение направлено на 6 единиц вправо и на 4 вниз.

4. Теперь находим координаты CD тем же способом. По горизонтали получаем 7 − 1 = 6, по вертикали — −2 − 2 = −4, поэтому CD = (6; −4).

5. Сравниваем координаты векторов попарно. Первые числа равны и вторые числа тоже равны, значит, векторы AB и CD равны, хотя их начала находятся в разных точках.

Ответ: AB = (6; −4), CD = (6; −4); векторы AB и CD равны. Проверка направлением тоже подтверждает результат: оба вектора задают сдвиг на 6 единиц вправо и на 4 вниз.

Типичные ошибки

• Вычитают координаты начала из координат конца наоборот. Так получают координаты противоположного вектора, потому что направление движения меняется. Ошибку допускают, когда не отмечают, какая точка первая в обозначении; проверка проста: для AB началом служит A, а концом — B.

• Забывают скобки у отрицательного числа. Например, вместо 4 − (−2) записывают 4 − 2. Такое случается, когда знак числа путают со знаком действия; подставляй координаты в формулу вместе со знаками и сначала упрощай выражение.

• Меняют местами координаты в паре. Тогда горизонтальное перемещение принимают за вертикальное, и вектор описывает другое движение. Проверяй себя по осям: первая разность относится к x, вторая — к y.

• Считают векторы равными только из-за одинаковой длины. Равная длина не гарантирует совпадения направления. Для проверки сравни обе координаты: равными должны быть и первые, и вторые числа.

Связь с другими темами

Координаты вектора опираются на координатную плоскость и координаты точек: чтобы найти перемещение, нужно знать положение его начала и конца. Здесь также используются вычитание целых чисел и правила действий с отрицательными числами. По координатам можно сравнивать векторы, не перенося их на чертеже к одному началу, а позже эти же записи пригодятся при изучении сложения векторов и геометрических преобразований.

Что запомнить

• Координаты вектора показывают перемещение по горизонтали и вертикали.

• Для AB: из координат конца B вычитают координаты начала A.

• Формула: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).

• Векторы равны, если равны обе их соответствующие координаты.

• Знак координаты показывает направление перемещения по оси.