86. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Равные векторы имеют одинаковые длины и направления, поэтому их можно переносить параллельно самим себе, не меняя самого вектора. Это удобно: точку приложения можно выбирать так, чтобы построение было проще.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они направлены вдоль одного направления, хотя могут смотреть в разные стороны и иметь разную длину. Понятие нужно, чтобы отличать векторы, которые задают одну линию направления, от векторов, задающих разные направления.

Неколлинеарные векторы не параллельны: их нельзя расположить на одной прямой или на параллельных прямых. На плоскости они задают два разных направления. Именно такая пара позволяет составлять векторы, направленные не только вдоль одной линии.

Разложение вектора по двум векторам — представление его в виде суммы кратных этих векторов: c = x·a + y·b. Здесь x и y — числа, а x·a и y·b — векторы-слагаемые; числа называют коэффициентами разложения. Такая запись показывает, какую долю каждого направления нужно взять и в какую сторону.

Как это устроено

Возьмём неколлинеарные векторы a и b и расположим их начало в одной точке. На них можно построить две стороны параллелограмма, а затем провести диагональ из общего начала. По правилу сложения диагональ равна сумме векторов сторон: она получается, если сначала пройти по a, а затем по b. Поэтому параллелограмм показывает, как сложение двух направлений создаёт третий вектор.

Пусть теперь дан произвольный вектор c. Через его начало проведём две прямые: одну параллельно a, другую параллельно b. Эти прямые пересекутся, потому что направления a и b не параллельны. Если достроить параллелограмм, вектор c станет его диагональю; значит, он складывается из двух векторов вдоль выбранных направлений. Так получается разложение для любого вектора на плоскости.

Каждая составляющая параллельна одному из заданных векторов. Поэтому первую можно записать как x·a, а вторую — как y·b: умножение на число меняет длину, а при отрицательном числе ещё и направление. По правилу сложения вектор, который составляют эти стороны, равен их сумме. Получаем общий вид c = x·a + y·b.

Почему такая запись только одна? Предположим, что один и тот же c записан двумя способами: x·a + y·b и p·a + q·b. После переноса слагаемых получим (x − p)·a = −(y − q)·b, то есть два вектора, параллельные разным направлениям, должны быть равны. Ненулевые векторы не могут быть одновременно параллельны неколлинеарным a и b, поэтому обе стороны равны нулю, а коэффициенты совпадают.

Коэффициенты не принадлежат вектору c отдельно от выбранных направлений. Если заменить a или b, тот же c обычно придётся выражать другими числами. Поэтому, называя коэффициенты разложения, всегда учитывают, по каким именно двум неколлинеарным векторам выполнено разложение.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Сначала проверь, что данные векторы неколлинеарны: это условие нужно и для существования разложения любого вектора, и для его единственности. Затем сопоставь запись с формой c = x·a + y·b. В геометрической задаче построй вектор как сумму подходящих отрезков-векторов, а после вырази их через a и b.

Разбор задач

Задача 1

Даны неколлинеарные векторы a и b. Вектор c задан равенством c = 2a − 3b. Укажите коэффициенты разложения c по векторам a и b. Сравним данную запись с общим видом разложения, чтобы не перепутать числа с векторами-слагаемыми.

1. Запишем общий вид: c = x·a + y·b.
2. Сравним с c = 2·a + (−3)·b. Коэффициент при a равен 2, а при b равен −3.

Ответ: x = 2, y = −3. Минус показывает, что составляющая вдоль b направлена противоположно b.

Задача 2

В треугольнике ABC даны AB = a и AC = b, а M — середина BC. Нужно выразить AM через a и b. Удобно пройти от A к M через B: тогда AM складывается из AB и BM, а свойство середины помогает выразить BM через стороны треугольника.

1. По правилу треугольника AM = AB + BM.
2. Так как M — середина BC, вектор BM равен ½·BC.
3. По правилу треугольника BC = BA + AC = −a + b, поскольку BA противоположен AB.
4. Подставим: AM = a + ½(−a + b) = ½a + ½b.

Ответ: AM = ½·a + ½·b. Коэффициенты получены при двух заданных векторах, а не при сторонах, направленных от B к A и от A к C.

Задача 3

Один и тот же вектор c представлен как c = x·a + y·b и c = p·a + q·b, где a и b неколлинеарны. Требуется доказать, что коэффициенты в двух записях равны. Смысл задачи — показать, что геометрическая конструкция не даёт двух разных разложений.

1. Приравняем правые части: x·a + y·b = p·a + q·b.
2. Перенесём слагаемые: (x − p)·a = −(y − q)·b.
3. Левая часть параллельна a, правая — b. Так как a и b неколлинеарны, равные им векторы могут быть только нулевыми.
4. Значит, x − p = 0 и y − q = 0, откуда x = p и y = q.

Ответ: x = p и y = q. Условие о неколлинеарности здесь необходимо: именно оно исключает ненулевые составляющие, направленные вдоль разных прямых и равные друг другу.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что разложение существует для любой пары векторов. Если векторы коллинеарны, они задают только одно направление, поэтому их кратные не образуют произвольные направления плоскости. Такая ошибка возникает, когда забывают проверить условие задачи; для самопроверки установи, что заданные векторы не параллельны.

Ошибка: путать коэффициент со слагаемым-вектором. В записи c = x·a + y·b числами являются x и y, а произведения x·a и y·b — векторами. Путаница появляется из-за того, что число и вектор записаны рядом; проверяй, можно ли величину складывать с вектором: число само по себе вектором не является.

Ошибка: терять знак коэффициента. Например, −3·b направлен противоположно b, а не в ту же сторону. Минус нередко пропускают при сравнении записи с общим видом; проверь направление составляющей и перепиши выражение как сумму, например 2·a + (−3)·b.

Ошибка: заявлять единственность без условия неколлинеарности. Именно разные направления заставляют равные составляющие быть нулевыми при сравнении двух разложений. Если условие не проверено, доказательство неполно; при самопроверке найди в рассуждении место, где используется непараллельность a и b.

Связь с другими темами

Для разложения нужны сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число и правило треугольника: они позволяют построить сумму и выразить стороны фигуры через заданные векторы. Например, при переходе по сторонам треугольника применяют правило треугольника, а середину отрезка связывают с половиной соответствующего вектора. Позже разложение пригодится при вычислениях в геометрических фигурах и при введении координат вектора: выбранные направления помогают задавать его числовыми коэффициентами.

Что запомнить

• Для разложения нужны два неколлинеарных вектора.
• Любой вектор на плоскости можно представить суммой кратных этих векторов.
• Общий вид записи: c = x·a + y·b.
• Числа x и y — коэффициенты разложения.
• При неколлинеарных a и b разложение единственно.
• Коэффициент может быть положительным, отрицательным или равным нулю.