"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Любой вектор на плоскости можно представить как сумму двух составляющих, направленных вдоль выбранных неколлинеарных векторов. Такое представление называют разложением, а числа перед векторами — коэффициентами. Геометрически разложение связано с диагональю параллелограмма, а по координатам коэффициенты находят из системы двух уравнений. Главное свойство: если направления не параллельны, разложение существует и определяется единственным образом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение вектора — представление данного вектора в виде суммы двух неколлинеарных векторов, умноженных на числа. Например, запись c = xа + yb показывает, что вектор c составлен из частей, направленных вдоль а и b. Такое представление помогает описывать один вектор через выбранные направления.
Неколлинеарные векторы — векторы, лежащие на непараллельных прямых. Их направления независимы: один нельзя получить умножением другого на число. Именно поэтому вместе они позволяют задавать направления по всей плоскости.
Коэффициенты разложения — числа, на которые умножаются выбранные неколлинеарные векторы. В записи c = xа + yb коэффициенты — это x и y. Они показывают, во сколько раз и в какую сторону берётся каждая составляющая.
Единственность разложения означает, что для заданного вектора и пары неколлинеарных векторов существует только одна пара коэффициентов. Это свойство позволяет не просто подобрать составляющие на рисунке, но и быть уверенным, что других значений x и y нет.
Чтобы представить вектор как сумму двух составляющих, используют правило параллелограмма. Из начала вектора проводят прямые, параллельные выбранным направлениям, а через его конец — параллельные им же. Противоположные стороны полученной фигуры параллельны, поэтому две стороны, выходящие из начала, направлены вдоль заданных векторов. Диагональ параллелограмма равна сумме этих сторон, значит, она и задаёт разлагаемый вектор.
Такой способ работает для любого вектора на плоскости, потому что через его начало и конец можно провести прямые двух заданных направлений. Эти прямые не параллельны друг другу, поэтому пересекутся и образуют параллелограмм. Его стороны покажут составляющие в нужных направлениях. Если конец исходного вектора лежит на одной из направляющих прямых, фигура может стать вырожденной: тогда составляющая вдоль другого направления равна нулю.
Коэффициенты учитывают и длину, и направление составляющей. Если коэффициент положительный, соответствующий вектор направлен так же, как выбранный; если отрицательный — в обратную сторону. Модуль числа показывает, во сколько раз длина составляющей больше или меньше длины выбранного вектора. Нулевой коэффициент означает, что составляющая этого направления не участвует в сумме.
Именно независимость направлений объясняет единственность разложения. Если бы один и тот же вектор удалось представить двумя разными способами, при вычитании равенств получилось бы, что сумма кратных а и b равна нулю. Для неколлинеарных векторов это возможно только тогда, когда оба коэффициента равны нулю, поэтому разные разложения невозможны. Если же векторы коллинеарны, они направлены вдоль одной прямой и одна составляющая может компенсировать другую многими способами.
Коэффициенты удобно находить по координатам. Пусть а = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂), c = (c₁, c₂); в равенстве c = xа + yb координаты правой части равны (xa₁ + yb₁, xa₂ + yb₂). Приравнивая их координатам c, получаем два уравнения с неизвестными x и y. После решения подставьте числа обратно и проверьте, что сумма составляющих действительно имеет координаты c.
Таблица помогает сопоставить геометрический смысл разложения с его записью и проверкой. При построении сначала определите направление каждой составляющей, а при вычислениях подставляйте именно координаты векторов. В конце удобно проверить результат двумя способами, если доступны и чертёж, и координаты.
| Элемент | Содержание | Обозначение или способ проверки |
|---|---|---|
| Условие применимости | Направляющие векторы неколлинеарны | Они не параллельны |
| Выбранные направляющие векторы | Два вектора, через которые выражают данный | а и b |
| Разлагаемый вектор | Вектор, который представляют как сумму составляющих | c |
| Коэффициенты разложения | Числа, задающие масштаб и направление составляющих | x и y |
| Формула разложения | Сумма кратных направляющих векторов | c = xа + yb |
| Геометрическая проверка | Построение параллелограмма по составляющим | Диагональ должна совпасть с c |
| Координатная проверка | Сложение координат составляющих | Координаты суммы должны совпасть с координатами c |
Дан вектор в и два неколлинеарных вектора а и b. Нужно построить разложение, если конец вектора в отмечен на чертеже. Координаты для такого построения не требуются: составляющие определяются по направлениям а и b. Важно провести вспомогательные линии именно параллельно заданным векторам.
Ответ: в = xа + yb, где x и y определяются по построенным сторонам параллелограмма.
Пусть а = (2, 1), b = (1, −1), c = (5, 1). Чтобы найти коэффициенты, запишем c = xа + yb. Неизвестные x и y должны одновременно обеспечить совпадение обеих координат, поэтому составим два уравнения. Этот шаг переводит задачу о векторах в задачу о системе линейных уравнений.
Ответ: c = 2а + b.
Пусть а = (1, 2), b = (2, 1), а разлагаемый вектор c = (−3, 1). Векторы а и b неколлинеарны: их координаты не пропорциональны. При составлении уравнений отрицательное значение коэффициента не нужно заранее исключать, ведь оно может отражать направление составляющей против исходного вектора. Найдём коэффициенты и проверим, что они дают нужный вектор.
Ответ: c = (5/3)а − (7/3)b. Отрицательный коэффициент означает, что составляющая вдоль b направлена противоположно b.
Попытка разложить вектор по коллинеарным векторам не даёт двух независимых направлений. Эту ошибку допускают, когда считают, что подойдут любые два вектора; проверьте, не параллельны ли они. Если параллельны, выберите другую пару, иначе единственного разложения ожидать нельзя.
Коэффициент принимают за длину составляющей и забывают его знак. Длина не бывает отрицательной, а коэффициент может: знак показывает направление, модуль — масштаб. Сверьте знак с рисунком или координатами, а длину составляющей не смешивайте с числом перед вектором.
При построении параллелограмма вспомогательные прямые проводят не параллельно выбранным векторам. Тогда стороны уже не задают нужные составляющие, хотя фигура может выглядеть правдоподобно. Проверьте каждую пару противоположных сторон и сравните их направления с а и b.
В координатном решении иногда подставляют координаты точек вместо координат векторов или ошибаются в знаках. Координаты вектора находят как разность координат конца и начала, а в уравнении складывают координаты составляющих. Для самопроверки выполните сложение покоординатно и убедитесь, что получился исходный вектор.
Для разложения нужны сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число и координаты вектора. Эти действия позволяют перейти от геометрического построения к вычислениям и обратно. Понятие разложения используют в задачах на координаты, базис и направляющие векторы, а также в геометрии и физике, когда движение или силу описывают по независимым направлениям. Оно подготавливает к координатному методу: сложные объекты можно выражать через простые направления и работать с ними с помощью чисел.
Почему для разложения нужны именно неколлинеарные, а не любые два вектора?
Неколлинеарные векторы задают два независимых направления, поэтому их составляющими можно получить любой вектор плоскости. Коллинеарные векторы направлены вдоль одной прямой и не позволяют описать движение в сторону другого направления. Поэтому разложение по ним не единственно или невозможно.
Может ли коэффициент разложения быть отрицательным?
Да. Отрицательный коэффициент означает, что составляющая направлена противоположно выбранному вектору. Например, −2а направлен против а, а его длина вдвое больше длины а.
Как понять по рисунку, какой коэффициент равен нулю?
Если одна сторона построенного параллелограмма не нужна, потому что разлагаемый вектор направлен параллельно другому выбранному вектору, коэффициент при первом векторе равен нулю. Иначе говоря, составляющая вдоль этого направления отсутствует. Проверить вывод можно по формуле разложения.
Как найти коэффициенты разложения, если известны координаты векторов?
Запишите c = xа + yb, где x и y — неизвестные коэффициенты. Приравняйте координаты векторов слева и справа: так получится система из двух линейных уравнений. Решите её и подставьте найденные числа в разложение.
Почему одно и то же разложение нельзя получить по-разному?
Если два разложения одного вектора различались бы коэффициентами, их вычитание дало бы равенство, связывающее неколлинеарные векторы. Такое равенство возможно только при нулевых коэффициентах. Значит, коэффициенты у двух разложений совпадают и разложение единственно.
4.6. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
