96. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Определения и обозначения

Неколлинеарные векторы — векторы, лежащие на прямых, которые не параллельны. Иначе говоря, они задают разные направления на плоскости. Это условие нужно, чтобы составляющие могли вести не только вдоль одной прямой, но и в сторону от неё.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам — представление данного вектора в виде суммы числовых кратных этих векторов: a = x u + y v. Такая запись позволяет выразить сложное направление через два выбранных простых направления. Она особенно удобна, когда u и v — векторы сторон фигуры.

Коэффициенты разложения — числа x и y, на которые умножают выбранные векторы. Коэффициент показывает, какую составляющую нужно взять вдоль соответствующего направления. Для одной и той же пары неколлинеарных векторов коэффициенты определяются единственным образом.

Базис плоскости — пара неколлинеарных векторов, по которой можно разложить любой вектор этой плоскости. Эти два вектора служат выбранными направлениями отсчёта. Базис нужен, чтобы описывать положение вектора с помощью двух чисел — его коэффициентов.

Как это устроено

Представим, что нужно построить вектор из точки O в точку P, используя направления векторов u и v. Сначала отложим от O составляющую, параллельную u, а от её конца — составляющую, параллельную v. Если составляющие выбраны нужной длины и направления, их сумма соединит O с P. Не каждое направление можно получить движением только вдоль одной прямой, поэтому нужны два неколлинеарных направления.

Чтобы увидеть, почему разложение существует, перенесём заданные векторы параллельно так, чтобы их начала совпали с началом раскладываемого вектора. Через конец каждого вектора проведём прямую, параллельную другому вектору. Получится параллелограмм, диагональ которого задаёт сумму двух его сторон, выходящих из общего начала. Поскольку стороны параллелограмма направлены вдоль выбранной пары, диагональ выражается через их кратные. Если целевой вектор не является диагональю в удобной ориентации, можно выбрать стороны с нужными знаками и длинами.

Единственность можно обосновать от противного. Пусть один вектор записан двумя способами: a = x u + y v и a = x₁u + y₁v. Вычитание равенств даёт (x − x₁)u + (y − y₁)v = 0. Если хотя бы один из коэффициентов при u и v отличен от нуля, это означало бы, что один из векторов можно выразить через другой, то есть они коллинеарны. Поэтому оба коэффициента разности равны нулю, а значит, x = x₁ и y = y₁.

Знак коэффициента сообщает, куда направлена составляющая: при положительном знаке она сонаправлена с выбранным вектором, при отрицательном — направлена противоположно. Модуль коэффициента показывает, во сколько раз длина составляющей больше длины выбранного вектора; например, коэффициент −2 задаёт вектор в противоположную сторону и вдвое длиннее. Поэтому коэффициенты нельзя понимать только как длины: знак тоже важен. Нулевой коэффициент означает, что составляющей вдоль этого направления нет.

Разложение помогает находить векторы, соединяющие точки фигуры, через её стороны. Сначала удобно представить нужный путь как последовательность перемещений между точками, а затем заменить каждое перемещение известными векторами и применить правила сложения и умножения на число. Например, если путь содержит половину стороны, соответствующий вектор равен половине вектора этой стороны. Если путь направлен обратно, перед коэффициентом появляется минус.

Разложение вектора по паре неколлинеарных векторов

Сначала проверьте условие на выбранные векторы: они не должны быть параллельны. Затем соотнесите каждую часть записи с направлением и коэффициентом. Таблица напоминает, что единственность относится к фиксированной паре: при выборе других векторов коэффициенты могут измениться.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме ABCD выразить вектор AC через векторы AB и AD. Нужно найти путь из A в C, используя стороны, выходящие из общей точки A. Эти стороны как раз заданы нужными векторами.

1. Применим правило параллелограмма: диагональ AC равна сумме векторов AB и AD, отложенных из A.
2. Запишем результат в нужных обозначениях: AC = AB + AD. Коэффициент при каждом из векторов равен 1, поскольку обе стороны берутся целиком и в заданном направлении.

Ответ: AC = AB + AD.

Задача 2. В треугольнике ABC точка M — середина BC. Выразить AM через AB и AC. Удобно пройти из A в M через B: такой путь состоит из векторов AB и BM. Так как M — середина BC, отрезок BM составляет половину BC и направлен так же.

1. По правилу сложения векторов AM = AB + BM.
2. Поскольку BM = ½BC, получаем AM = AB + ½BC.
3. Выразим BC через векторы с началом в A: BC = AC − AB. Подставим: AM = AB + ½(AC − AB) = ½AB + ½AC.

Ответ: AM = ½AB + ½AC.

Задача 3. В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и AC, причём AM = ⅔AB, AN = ½AC. Выразить MN через AB и AC. Идём из M в N через A: сначала направляемся от M к A, затем от A к N. Первый шаг противоположен направлению AB, поэтому он имеет отрицательный коэффициент.

1. Запишем путь: MN = MA + AN.
2. Так как AM = ⅔AB, то MA = −⅔AB; а из условия AN = ½AC.
3. Подставим оба выражения: MN = −⅔AB + ½AC. Проверка направления: вклад AB направлен от B к A, а вклад AC — от A к N.

Ответ: MN = −⅔AB + ½AC.

Типичные ошибки

Выбирать коллинеарные векторы. Тогда их числовые кратные остаются на одной прямой, и получить произвольное направление на плоскости нельзя. Так ошибаются, замечая только, что векторы ненулевые, но не проверяя их направления. Проверьте, что прямые, на которых лежат выбранные векторы, не параллельны.

Считать коэффициенты зависящими только от раскладываемого вектора. Одни и те же направления можно заменить другой парой неколлинеарных векторов, и числовые коэффициенты изменятся. Ошибка возникает, когда разложение воспринимают как свойство вектора само по себе. Для проверки всегда указывайте, относительно какой пары векторов записаны коэффициенты.

Терять знак коэффициента. Например, вектор MA направлен противоположно AM, поэтому MA = −AM, а не AM. При поиске коэффициента иногда сравнивают только длины отрезков и забывают направление. Перед записью проверьте, куда ведёт вектор: если против выбранного направления, коэффициент должен быть отрицательным.

Путать вектор с его длиной. Длина — число, а вектор имеет ещё и направление; поэтому одного сравнения длин недостаточно для сложения. Такая ошибка часто появляется, когда в записи пути не учитывают, откуда и куда направлен каждый отрезок. Проверяйте равенства по началу, концу и направлению векторов, а не только по числовым длинам.

Связь с другими темами

Для разложения нужны равенство и сложение векторов, умножение вектора на число и правило параллелограмма: с их помощью строят и преобразуют составляющие. В задачах на треугольник или параллелограмм разложение позволяет выразить один вектор через стороны и затем сравнивать полученные выражения. Позже коэффициенты разложения можно рассматривать как координаты вектора относительно выбранного базиса. Так геометрический способ записи подготавливает переход к координатному методу.

Что запомнить

• Для разложения на плоскости нужны два неколлинеарных вектора.
• Любой вектор плоскости можно представить как сумму кратных этих векторов.
• При фиксированной паре неколлинеарных векторов разложение единственно.
• Коэффициент показывает, во сколько раз и в каком направлении берётся соответствующий вектор.
• При поиске разложения удобно сначала выразить вектор через последовательный путь между точками.
• Отрицательный коэффициент меняет направление вектора на противоположное.