§21. Геометрические преобразования

Определения и обозначения

Геометрическое преобразование — соответствие, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие определённая точка. Если преобразуется фигура, то преобразование действует на каждую её точку, а не только на контур целиком. Это определение позволяет точно описывать, куда переходит фигура и как построить её образ.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании. Если точка A переходит в A′, запись читают так: A′ — образ точки A. Обозначения со штрихами помогают не перепутать исходную фигуру и полученную при построении.

Прообраз точки — исходная точка, которая переходит в заданную точку. Если A переходит в A′, то A является прообразом A′. Образ показывает результат перехода, а прообраз — его начало, поэтому направление преобразования здесь принципиально.

Движение — геометрическое преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Поэтому при движении фигуры не меняются длины отрезков и её размеры, сохраняется форма. Это понятие нужно, чтобы обосновать равенство исходной фигуры и её образа.

Как это устроено

Преобразование переводит каждую точку исходной фигуры в соответствующую точку образа. Поэтому, чтобы понять результат, нужно проследить переход отдельных точек, а не пытаться переместить фигуру «на глаз». Когда правило преобразования известно, для каждой точки получается своё определённое положение.

Образ фигуры — множество образов всех точек, которые ей принадлежат. У многоугольника все точки стороны переходят в точки соответствующей стороны, поэтому для построения обычно достаточно найти образы вершин и соединить их в том же порядке. Такой способ работает потому, что при рассматриваемых движениях отрезок переходит в отрезок.

Преобразования различаются тем, как именно меняется положение точек. При параллельном переносе все точки смещаются на один и тот же вектор, при повороте вращаются вокруг общего центра на одинаковый угол. При осевой симметрии точка и её образ расположены по разные стороны от оси на равных расстояниях, а при центральной симметрии центр является серединой отрезка между ними.

Движение сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Поэтому отрезки остаются той же длины, углы — той же величины, прямые переходят в прямые, а окружности — в окружности с тем же радиусом. У многоугольника сохраняются все стороны и углы, значит, исходный многоугольник и его образ равны.

Определяя преобразование по рисунку, сначала отмечают соответствующие точки и смотрят, как связаны они и их образы. Затем проверяют характерные признаки: общий вектор, центр и угол поворота, перпендикуляр к оси или середину отрезка. Наконец, проверяют инварианты — свойства, которые должны сохраняться, например расстояния; несовпадение длин указывает на ошибку в распознавании или построении.

Основные геометрические преобразования и сохраняемые свойства

Сначала найдите в таблице, чем задаётся нужное преобразование, а затем проверьте, как должны располагаться точки и их образы. Строки о расстояниях и ориентации помогают проверить результат: «да» означает, что соответствующее свойство сохраняется.

Разбор задач

Координаты при параллельном переносе

Точка A(−2; 3) переносится на вектор (4; −1). Нужно найти координаты A′. При переносе первая координата каждой точки изменяется на первую координату вектора, а вторая — на вторую, поэтому соответствующие координаты складываются.

1. Запишем координаты точки: x = −2, y = 3.
2. Прибавим первую координату вектора: −2 + 4 = 2.
3. Прибавим вторую координату: 3 + (−1) = 2.

Ответ: A′(2; 2). Проверка: вектор AA′ имеет координаты (2 − (−2); 2 − 3) = (4; −1), то есть совпадает с вектором переноса.

Осевая симметрия треугольника

Треугольник ABC отражён относительно прямой l. Чтобы построить образ, нужно найти точки A′, B′ и C′, симметричные вершинам относительно оси. Равенство треугольников доказывают не по внешнему виду, а по сохранению расстояний при движении.

1. Через A, B и C проведём перпендикуляры к прямой l.
2. На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону оси отложим такое же расстояние до оси; получим A′, B′ и C′.
3. Соединим A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины.
4. Осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому AB = A′B′, BC = B′C′ и CA = C′A′.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′; треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём соответствующим сторонам.

Определение центральной симметрии

Отрезок AA′ имеет середину O, а угол между лучами OA и OA′ равен 180°. Следовательно, точки A и A′ лежат на одной прямой по разные стороны от O, причём OA = OA′. Это признаки центральной симметрии с центром O.

1. Для каждой вершины многоугольника проведём прямую через неё и O.
2. На другой стороне от O отметим образ вершины так, чтобы O была серединой отрезка между вершиной и образом.
3. Повторим построение для всех вершин и соединим полученные точки в прежнем порядке.
4. Проверим для каждой пары, что её отрезок проходит через O и делится центром пополам.

Ответ: выполнена центральная симметрия с центром O; построенный многоугольник из образов всех вершин является образом исходного.

Типичные ошибки

Путают образ и прообраз. Исходную точку могут ошибочно назвать образом, потому что рассматривают пару точек без указания направления. Запишите переход A → A′: тогда A′ — образ, а A — прообраз. Проверяйте себя вопросом: «Откуда вышли и куда пришли?»

Считают любое перемещение движением. Например, перемещение с изменением размеров не сохраняет расстояния, поэтому движением не является. Такую ошибку допускают, принимая слово «движение» за обычное перемещение на рисунке. Проверьте, осталось ли расстояние между любой парой соответствующих точек прежним.

Неверно строят осевую симметрию. Иногда отрезок от точки к оси проводят не перпендикулярно или откладывают по другую сторону неравное расстояние. Нужно искать образ на перпендикуляре к оси, на таком же удалении от неё. Проверка проста: ось должна быть серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и образом.

Проверяют центр симметрии только на одной паре. Середина случайного отрезка ещё не доказывает, что точку задаёт именно центральная симметрия. Это возможно потому, что условие проверяют на одной точке и не переносят на всю фигуру. Проверьте каждую соответствующую пару вершин: центр должен быть серединой каждого соединяющего их отрезка.

Связь с другими темами

Для работы с преобразованиями нужны координаты точек и векторы: они помогают описывать перенос и вычислять положение образа. При построениях пригодятся свойства перпендикуляра и середины отрезка, а равенство фигур объясняется сохранением расстояний. Тема служит основой для изучения движений, симметрии и поворотов, а также используется при построении изображений. Понятие преобразования встречается дальше в темах о подобии, координатном методе и геометрических местах точек.

Что запомнить

• Преобразование переводит каждую точку фигуры в определённую точку.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Прообраз — точка, из которой получается заданный образ.
• Движение сохраняет расстояния и форму фигуры.
• Параллельный перенос задаётся вектором.
• Поворот задаётся центром и углом.
• Осевая и центральная симметрия являются движениями.