97. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование плоскости, при котором точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданной прямой. Иными словами, прямая действует как зеркало: точка отражается на другую сторону. Это понятие нужно, чтобы описывать зеркальное отображение не только отдельных точек, но и целых фигур.

Симметричные относительно прямой точки лежат по разные стороны от неё на одном перпендикуляре и на одинаковом расстоянии от прямой. Например, если от одной точки до прямой 3 см, то и от её образа до прямой будет 3 см. По этому условию можно строить образ точки и проверять, действительно ли две точки симметричны.

Ось симметрии — прямая, относительно которой рассматривают осевую симметрию; она является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом. Это свойство даёт удобный способ построения и проверки пары симметричных точек.

Симметричная фигура — фигура, которая при отражении относительно прямой переходит сама в себя. Такая прямая и называется осью симметрии фигуры. Определение позволяет отличить настоящую симметрию от простого пересечения фигуры прямой: после отражения вся фигура должна совпасть с исходной.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки относительно прямой, проведи через точку перпендикуляр к этой прямой. Затем измерь расстояние от исходной точки до места пересечения перпендикуляра с прямой и отложи такой же отрезок по другую сторону. Почему нужен именно перпендикуляр? Кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, и ось должна делить пополам отрезок между точкой и её образом. Если отложить расстояние по наклонной, прямая не будет перпендикулярна этому отрезку, поэтому условие симметрии нарушится.

Точка, расположенная на оси, при отражении остаётся на месте. Через неё перпендикуляр к оси проходит в самой точке, а расстояние до оси равно нулю. Для образа требуется сохранить и этот перпендикуляр, и нулевое расстояние, поэтому другой точки, отличной от исходной, быть не может. Следовательно, все точки оси неподвижны.

Образ отрезка получают, построив образы обоих его концов и соединив их. Это работает потому, что отражение переводит прямую в прямую, а точки отрезка — в точки соответствующего отрезка. Длина при этом не меняется: расстояние между образами концов равно расстоянию между исходными концами. Поэтому полученный отрезок равен исходному, даже если он расположен в другом месте плоскости.

Осевая симметрия сохраняет расстояния между любыми точками. Значит, не меняются длины сторон, а вместе с ними сохраняются углы: отражённые лучи образуют такой же угол, как исходные. Поэтому треугольник, многоугольник или другая фигура переходит в равную ей фигуру, хотя ориентация может измениться. Чтобы проверить, является ли прямая осью фигуры, отрази относительно неё точки фигуры и проверь, что каждая из них попала в ту же фигуру; тогда образ совпадёт с исходной фигурой.

Свойства осевой симметрии

Таблица показывает, что происходит с точками, отрезками и фигурами при отражении. Пользуйся ею, чтобы проверить построение или обосновать, почему образ равен исходной фигуре. Для проверки пары точек особенно полезно помнить о перпендикуляре и равных расстояниях до оси.

Разбор задач

Задача 1. Построить точку, симметричную данной точке A относительно прямой l. Сначала нужно определить направление, в котором откладывается расстояние: оно должно быть перпендикулярным к оси. Затем следует перенести расстояние до оси на другую сторону, чтобы она оказалась серединой отрезка между точками.

1. Проведи через A перпендикуляр к прямой l и обозначь точку пересечения через H.
2. Измерь отрезок AH и на том же перпендикуляре, по другую сторону от l, отметь точку A′ так, чтобы HA′ = AH.
3. Проверь, что l перпендикулярна AA′ и проходит через его середину H.

Ответ: A′ — искомая точка. Проверка подтверждает, что заданная прямая является серединным перпендикуляром к AA′, а значит, точки A и A′ симметричны относительно l.

Задача 2. Построить образ отрезка AB при отражении относительно прямой l и определить его длину. Нельзя отражать только один конец: положение отрезка задают обе его вершины. Поскольку при осевой симметрии расстояния сохраняются, длину образа можно определить без нового измерения.

1. Построй точку A′, симметричную A относительно l, по перпендикуляру и равному расстоянию.
2. Таким же способом построй точку B′, симметричную B относительно l.
3. Соедини A′ и B′. Полученный отрезок A′B′ является образом AB, а его длина равна AB.

Ответ: образ — отрезок A′B′, причём A′B′ = AB. Равенство следует из сохранения расстояний при отражении.

Задача 3. Дан треугольник ABC и прямая l. Построить симметричный треугольник и доказать равенство треугольников. Образ каждой вершины строится отдельно, а затем вершины соединяются в том же порядке. Для доказательства удобно сравнить соответствующие стороны: отражение сохраняет расстояния между каждой парой точек.

1. Построй A′, B′ и C′ — образы вершин A, B и C относительно l.
2. Соедини A′B′, B′C′ и C′A′. Получится треугольник A′B′C′ — образ исходного.
3. Используй сохранение расстояний: A′B′ = AB, B′C′ = BC, C′A′ = CA.
4. По трём равным соответствующим сторонам заключи, что треугольники ABC и A′B′C′ равны.

Ответ: искомый треугольник — A′B′C′, он равен ABC. При отражении сохраняются не только стороны, но и углы, что также подтверждает равенство фигур.

Типичные ошибки

Первая ошибка — откладывать расстояние до оси не по перпендикуляру. Так бывает, когда положение образа выбирают на глаз или проводят отрезок под наклоном. В результате ось не делит отрезок между точкой и образом пополам под прямым углом. Проверь построение угольником: соединяющий точки отрезок должен быть перпендикулярен оси.

Вторая ошибка — отложить от оси отрезки разной длины. Тогда точки оказываются не равноудалёнными от прямой, хотя могут располагаться на одном перпендикуляре. Это часто происходит при неточном измерении линейкой. Измерь расстояния от обеих точек до оси по перпендикуляру и сравни их.

Третья ошибка — считать, что точка на оси переходит в другую точку этой же прямой. На оси отражение оставляет каждую точку на месте: её расстояние до оси равно нулю. Ошибку допускают, представляя отражение как перемещение вдоль прямой. Проверь, совпадает ли образ с исходной точкой; для точки на оси они обязаны совпасть.

Четвёртая ошибка — объявлять осью симметрии любую прямую, которая проходит через фигуру. Пересечение с фигурой само по себе ничего не доказывает: после отражения части фигуры могут не совпасть. Нужно проверить, что образ каждой точки принадлежит исходной фигуре и вся фигура совпадает со своим образом. Если хотя бы одна точка переходит за пределы фигуры, прямая не является её осью симметрии.

Связь с другими темами

Для построений осевой симметрии нужны умения проводить перпендикуляр к прямой, находить середину отрезка и пользоваться свойством серединного перпендикуляра. Эти знания помогают не только выполнять построение, но и обосновывать его правильность. Связь особенно наглядна в условии: ось проходит через середину отрезка между симметричными точками под прямым углом.

Осевая симметрия относится к движениям плоскости — преобразованиям, которые сохраняют расстояния. Поэтому её свойства применяются при доказательстве равенства фигур и изучении симметричных многоугольников. Например, можно отразить треугольник, а затем использовать равенство его сторон и углов образу.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом.
• Точки оси симметрии остаются на месте.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния.
• Образ отрезка — отрезок, равный исходному.
• Образ фигуры равен исходной фигуре.
• Ось симметрии фигуры переводит её в саму себя.