55. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Точки называют симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки. Иначе говоря, она проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Это условие позволяет точно установить, где должна находиться одна точка относительно другой.

Осевая симметрия относительно заданной прямой — преобразование плоскости, которое переводит каждую точку в симметричную ей относительно этой прямой. Прямую называют осью симметрии преобразования. Такое определение нужно, чтобы описывать отражение не только отдельных точек, но и целых фигур.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура при осевой симметрии переходит в себя. После отражения каждая точка фигуры должна оказаться на месте точки той же фигуры. Это понятие помогает находить свойства фигуры по её расположению относительно прямой.

Две фигуры называют симметричными относительно прямой, если точки одной фигуры при осевой симметрии переходят в соответствующие точки другой. Каждой точке первой фигуры соответствует точка второй, расположенная по другую сторону оси на таком же расстоянии. Так можно установить соответствие между вершинами и сторонами фигур.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную A относительно прямой a, проведите через A перпендикуляр к a. Пусть он пересекает прямую в точке H; затем по другую сторону от a отметьте точку A′ так, чтобы HA′ = HA. Перпендикулярность нужна потому, что ось должна быть серединным перпендикуляром к AA′, а равные отрезки по обе стороны обеспечивают, что H — середина. Поэтому построенная точка единственна.

Точки, расположенные на оси, остаются на месте: расстояние от такой точки до оси равно нулю. Чтобы отразить её, не нужно откладывать отрезок на другую сторону — образ совпадает с исходной точкой. Точка вне оси, напротив, получает другое положение на противоположной стороне. Такой случай удобно рассматривать как пару различных симметричных точек.

Осевая симметрия сохраняет расстояния, потому что отражение не растягивает и не сжимает плоскость. Если отразить концы отрезка, полученный отрезок будет той же длины; следовательно, сохраняются и расстояния между любыми соответствующими точками. Углы тоже переходят в равные углы: отражаются обе их стороны, но величина угла не меняется. Поэтому образ геометрической фигуры равен исходной по форме и размерам.

Поведение прямой зависит от её положения относительно оси. Прямая, перпендикулярная оси, переходит в себя: отражение каждой её точки остаётся на той же перпендикулярной прямой. Параллельная оси прямая переходит в параллельную ей прямую по другую сторону; расстояние между ними соответствует удвоенному расстоянию исходной прямой до оси. Прямая, пересекающая ось под непрямым углом, переходит в другую прямую, которая пересекает ось в той же точке, поскольку точка пересечения лежит на оси и не движется.

Проверяя, является ли прямая осью симметрии фигуры, нужно отразить относительно неё всю фигуру и сравнить исходник с образом. Совпадения отдельных вершин или частей недостаточно: должны совпасть все точки фигуры. Если отражённые части закрывают друг друга полностью, прямая — ось; если хотя бы часть образа не совпадает, это не ось симметрии данной фигуры.

Основные свойства осевой симметрии

При построении сначала определите, какие точки лежат на оси, а какие нужно отражать. Затем используйте перпендикулярность и равенство расстояний; сохранение длин и углов поможет проверить результат. Для целой фигуры проверяйте совпадение всех её частей.

Разбор задач

Постройте точку, симметричную точке A относительно прямой a.

Нужно построить образ точки, поэтому ищем положение, при котором a станет серединным перпендикуляром к отрезку между A и образом. Это сразу подсказывает два условия: отрезок должен быть перпендикулярен a, а его части по обе стороны от a — равны.

1. Проведите через A перпендикуляр к прямой a и обозначьте точку пересечения через H.
2. На продолжении прямой AH за ось отложите отрезок HA′, равный HA.
3. Назовите полученную точку A′. Проверьте, что a перпендикулярна AA′ и проходит через его середину H.

Оба условия определения выполнены, значит, A′ симметрична A относительно a. Если A лежит на a, то H совпадает с A и образ также совпадает с A. Ответ: точка A′, построенная по указанным правилам.

Точки A и B симметричны относительно прямой a. Найдите расстояние от B до a, если расстояние от A до a равно 3 см.

Расстоянием от точки до прямой считают длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. При отражении ось является серединным перпендикуляром к отрезку AB, поэтому точки A и B находятся по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Значит, достаточно перенести данное расстояние без изменения.

1. Обозначьте основание перпендикуляра из A на a через H.
2. Для симметричной точки B расстояние до a равно расстоянию от A до a.
3. Подставьте данное значение: расстояние от B до a равно 3 см.

Проверка: перпендикуляр из B до оси должен иметь ту же длину, что и перпендикуляр из A. Ответ: 3 см.

Докажите, что образ треугольника при осевой симметрии равен исходному треугольнику, и найдите образ его вершин.

Пусть дан треугольник ABC, а его вершины после отражения обозначены A′, B′ и C′. Сначала важно правильно сопоставить вершины: образом каждой вершины является её симметричная точка относительно заданной оси. Затем можно сравнить стороны соответствующих треугольников.

1. Постройте A′, B′ и C′, отражая каждую вершину относительно оси; точка, лежащая на оси, остаётся на месте.
2. Осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA.
3. Три стороны образованного треугольника равны соответствующим сторонам исходного. Следовательно, треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам.

Так как преобразование сохраняет и углы, соответствующие углы также равны. Образ вершин — точки A′, B′ и C′, а образ треугольника — треугольник A′B′C′. Ответ: треугольники равны, вершины переходят соответственно в свои отражения.

Типичные ошибки

Ошибка: выбирать симметричную точку где угодно на прямой, проведённой через исходную. Такой выбор допускает любую длину и направление отрезка, но ось должна быть перпендикулярна отрезку между точками. Такую ошибку легко проверить: проведите соединяющий точки отрезок и убедитесь, что он образует с осью прямой угол.

Ошибка: откладывать от оси отрезки разной длины. Иногда кажется, что достаточно разместить точки по разные стороны прямой, но расстояния до неё обязаны быть равны. Опустите из обеих точек перпендикуляры на ось и сравните их длины. Если они не равны, точки не симметричны.

Ошибка: считать, что при отражении перемещается и точка, лежащая на оси. Она остаётся на прежнем месте, поскольку расстояние от неё до оси равно нулю. Перед построением проверьте положение точки: если она принадлежит оси, отдельное отражение не требуется. Её образом будет она сама.

Ошибка: называть прямую осью симметрии, когда с фигурой совпадает только часть отражения. Совпадение отдельных элементов не доказывает симметрию всей фигуры. Проверьте каждую часть и каждую соответствующую точку. Ось подходит только тогда, когда отражение целиком совпадает с исходной фигурой.

Связь с другими темами

Для работы с осевой симметрией нужны знания о перпендикулярных прямых, середине отрезка и серединном перпендикуляре. Эти понятия задают точные условия, по которым строят отражённую точку и проверяют построение. Осевая симметрия пригодится при изучении движений плоскости: она сохраняет расстояния и углы. Её используют в построениях, доказательствах свойств фигур и при поиске осей симметрии многоугольников.

Что запомнить

• Ось симметрии перпендикулярна отрезку, соединяющему симметричные точки, и делит его пополам.
• Точки на оси симметрии остаются на месте.
• Симметричные точки равноудалены от оси.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Ось симметрии фигуры переводит её в саму себя.