§ 5. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Две точки называют симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, который соединяет точки. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Значит, точки находятся по разные стороны от прямой на одинаковом расстоянии. Это условие позволяет точно определить, где должен находиться образ точки.

Ось симметрии пары точек — прямая, проходящая через середину отрезка между ними и перпендикулярная этому отрезку. Она делит отрезок на две равные части и служит границей отражения. Если известны две точки, по этому правилу можно построить прямую, относительно которой они симметричны. Такая прямая и есть их ось симметрии.

Осевая симметрия — преобразование, при котором каждой точке ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно заданной прямой. Исходную прямую называют осью симметрии, а полученную точку — образом исходной. Например, точку A и её образ обычно обозначают A и A′. Такое преобразование помогает строить отражения и сравнивать фигуры.

Фигура симметрична относительно прямой, если при отражении относительно неё фигура переходит сама в себя. Иными словами, после отражения все её точки и части совпадают с исходными. Эту прямую называют осью симметрии фигуры. Проверяя симметрию, нужно сравнивать всю фигуру, а не только отдельную её часть.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную A относительно прямой a, сначала проведите из A перпендикуляр к a. Прямой угол нужен потому, что отрезок между точкой и её отражением должен быть перпендикулярен оси. Отметьте точку пересечения перпендикуляра с a, а затем отложите от неё за прямой отрезок такой же длины, как от исходной точки. Конец этого отрезка и будет образом A′: ось разделит AA′ пополам.

Точка, расположенная на оси, при отражении остаётся на месте. Перпендикулярное расстояние от неё до оси равно нулю, поэтому отложить ненулевой отрезок на другой стороне невозможно. Можно представить, что точка уже лежит на зеркальной поверхности: отражение не переносит её в новое место. Поэтому образ такой точки совпадает с ней самой.

Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы. Отражение меняет положение точек по разные стороны оси, но не растягивает и не сжимает фигуру: соответствующие отрезки остаются равными. Угол тоже не становится ни больше, ни меньше, поскольку стороны отражаются вместе, сохраняя величину угла. Поэтому образ любой фигуры имеет те же размеры и форму, хотя его расположение может измениться.

Образ отрезка AB строят, сначала находя образы его концов — A′ и B′, а затем соединяя их. Это работает потому, что отрезок состоит из точек, и каждая из них отражается относительно той же оси. Для многоугольника поступают так же: строят образы всех вершин, а потом соединяют их в прежнем порядке. Так сохраняются соседство сторон и форма исходного контура.

Чтобы проверить, является ли прямая осью симметрии фигуры, мысленно отразите фигуру относительно неё. Можно представить сгиб по этой прямой: части по разные стороны должны совместиться. Если после отражения хотя бы одна часть не совпадает с исходной фигурой, прямая не является её осью. Для проверки отдельных точек используют то же правило: ось должна быть серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и её образом.

Как связаны точки, ось и симметричная фигура

Сначала найдите, что именно рассматривается: две точки, одна точка на прямой или целая фигура. Затем проверьте условие в средней колонке, а вывод сверьте с последней. Так таблица помогает отличать свойство пары точек от свойства фигуры.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Условие. Дана точка A и прямая a. Постройте точку, симметричную A относительно a. Нужно найти положение A′ так, чтобы прямая a делила отрезок AA′ пополам и была ему перпендикулярна.

1. Проведите из A перпендикуляр к прямой a и обозначьте точку пересечения H.
2. Измерьте отрезок AH: он показывает расстояние от точки A до оси.
3. На продолжении прямой AH за осью отложите отрезок HA′, равный AH.

Ответ: точка A′ — образ точки A относительно a. Проверьте построение: AH перпендикулярен a, а AH = HA′, поэтому a проходит через середину AA′. Значит, a — серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Образ отрезка

Условие. Постройте фигуру, симметричную отрезку AB относительно прямой, не проходящей через его концы. Назовём ось c: по условию ни A, ни B на ней не лежат. Отразить нужно оба конца, потому что отрезок определяется положением своих концов.

1. Проведите из A перпендикуляр к c и отложите за осью равный отрезок, получив A′.
2. Так же постройте B′, соблюдая равенство расстояний от B и B′ до c.
3. Соедините A′ и B′ отрезком, сохраняя порядок концов.

Ответ: отрезок A′B′ — образ AB. Осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому A′B′ = AB. Это также можно проверить по равенству соответствующих расстояний, если точки строились точно.

Ось симметрии равнобедренного треугольника

Условие. Определите оси симметрии равнобедренного треугольника и объясните, почему отражение относительно найденной оси сохраняет его. Обозначим вершину между равными сторонами C, а основание — AB, где AC = BC. Прямая через C и середину основания M делит треугольник на две соответствующие части.

1. Проведите прямую CM, где M — середина AB.
2. При отражении относительно CM вершина C остаётся на оси, а A переходит в B.
3. Равные стороны AC и BC переходят друг в друга, а основание AB — само в себя.
4. Проверьте, что других осей нет: вершина C должна перейти в вершину, а различное положение вершины и основания не позволяет оси поменять их местами.

Ответ: у равнобедренного треугольника одна ось симметрии — прямая CM. Отражение переставляет равные вершины основания и оставляет вершину C на месте, поэтому образ совпадает с исходным треугольником.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что симметричная точка находится с той же стороны оси, что и исходная. Так можно получить точку на неверной стороне, хотя расстояние до прямой будет таким же. Проверьте расположение: если исходная точка не на оси, образ должен оказаться по другую сторону, на таком же перпендикулярном расстоянии.

Ошибка: соединять точку с её образом отрезком, который не перпендикулярен оси. Иногда кажется, что достаточно отмерить одинаковые расстояния от прямой, но без прямого угла середина отрезка не окажется на оси. Проверьте построение угольником или по условию задачи: ось должна быть серединным перпендикуляром к отрезку между точками.

Ошибка: перемещать при отражении точку, которая уже лежит на оси. Такое происходит, если забыть, что её расстояние до прямой равно нулю. У точки на оси образ совпадает с исходной точкой. Чтобы проверить себя, посмотрите, попала ли точка на ось до построения: если да, оставьте её на месте.

Ошибка: называть осью симметрии любую прямую, проходящую через фигуру. Прямая может пересекать фигуру, но отражённые части при этом не обязательно совпадут. Причина ошибки — проверка только по расположению прямой, а не по результату отражения. Мысленно перегните фигуру по прямой: если части не совместились, это не ось симметрии.

Связь с другими темами

Для построений осевой симметрии нужны умения проводить перпендикуляр, находить середину отрезка и строить перпендикуляр к прямой. Без них нельзя точно отметить образ точки: требуется выдержать и прямой угол, и равные расстояния. Поэтому перед задачами на отражение полезно повторить эти построения. Они же позволяют проверять, правильно ли получены симметричные точки.

Осевая симметрия пригодится при изучении свойств и построения геометрических фигур, а также при поиске осей симметрии многоугольников. С её помощью можно объяснять, почему части фигуры совпадают, и строить отражённые фигуры без изменения размеров. При рассмотрении многоугольника проверяют, куда переходят его вершины и стороны. Если образ совпадает с исходной фигурой, прямая является её осью.

Что запомнить

• Ось симметрии пары точек — серединный перпендикуляр к отрезку между ними.
• Симметричные точки находятся на равных расстояниях от оси.
• Отрезок, соединяющий точку и её образ, перпендикулярен оси.
• Каждая точка на оси остаётся на месте.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Ось симметрии фигуры переводит её в саму себя.