§ 18. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование плоскости, при котором каждой точке соответствует точка, симметричная ей относительно заданной прямой. Проще говоря, это отражение фигуры в воображаемом зеркале. Такое преобразование помогает строить равные фигуры и находить их оси симметрии.

Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется отражение. Её можно обозначать, например, буквой l. Именно относительно этой прямой определяют положение образа каждой точки.

Точки, симметричные относительно оси, лежат на одном перпендикуляре к ней и находятся от неё на равных расстояниях. Поэтому ось делит отрезок между такими точками пополам под прямым углом. Это правило используется при построении симметричных точек.

Точка на оси симметрии переходит сама в себя. Она не может переместиться на другую сторону оси, потому что уже находится на ней. Такие точки называют неподвижными при данном отражении.

Как это устроено

Чтобы построить точку B, симметричную точке A относительно оси l, сначала проводят через A перпендикуляр к l. Затем находят точку пересечения этого перпендикуляра с осью. От неё откладывают в противоположную сторону расстояние, равное расстоянию до A, и получают B. Такой способ работает потому, что ось должна быть серединным перпендикуляром к отрезку AB.

При осевой симметрии расстояния между соответствующими точками не меняются. Отражение можно представить как поворот каждой точки на 180° вокруг оси в пространстве, поэтому расстояние до любой другой отражённой точки остаётся тем же. Следовательно, равные отрезки переходят в равные отрезки, а сохранение расстояний приводит и к сохранению углов.

Чтобы построить образ фигуры, выбирают её характерные точки: вершины многоугольника, концы отрезка или центр окружности. Для каждой точки строят симметричную ей относительно оси, а затем соединяют полученные точки в прежнем порядке. Порядок соединения нужен, чтобы не изменить стороны и границы исходной фигуры.

Прямая, перпендикулярная оси, переходит в себя, потому что её точки отражаются на той же прямой: перпендикуляр к оси единственный. Прямая, параллельная оси, не совпадает со своим образом, но все её точки после отражения образуют другую прямую, также параллельную оси. Чтобы определить ось симметрии фигуры, отражают фигуру относительно предполагаемой прямой и проверяют, совпали ли все её точки с исходными.

Свойства осевой симметрии

Таблица показывает, как ведут себя основные элементы при отражении. Ею удобно пользоваться как краткой проверкой построения: если свойство нарушено, где-то допущена ошибка.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Условие. Постройте точку, симметричную точке A относительно прямой l. Нужно получить такую точку A′, чтобы l была серединным перпендикуляром к AA′.

1. Проведите через A перпендикуляр к прямой l и обозначьте точку его пересечения с осью буквой H.
2. Измерьте отрезок AH. На том же перпендикуляре по другую сторону от l отметьте точку A′ так, чтобы HA′ = HA.
3. Проверьте построение: AA′ должно быть перпендикулярно l, а H — серединой этого отрезка.

Ответ. Точка A′, построенная по этим двум условиям, симметрична точке A относительно прямой l.

Построение симметричного треугольника

Условие. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно заданной прямой l. Образ обозначим A′B′C′.

1. Через каждую вершину A, B и C проведите перпендикуляр к l.
2. На противоположной стороне оси отложите равные расстояния и постройте точки A′, B′ и C′.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины: получится треугольник A′B′C′.
4. Проверьте результат: A′B′ = AB, B′C′ = BC, C′A′ = CA. Значит, сохраняются и углы треугольника.

Ответ. Треугольник A′B′C′ является образом ABC при осевой симметрии.

Определение оси по фигуре и её образу

Условие. Дан четырёхугольник и его образ при осевой симметрии. Требуется определить ось отражения.

1. Соедините несколько пар соответствующих вершин, например A и A′, B и B′.
2. Для каждого полученного отрезка постройте серединный перпендикуляр. Ось обязана проходить через середины отрезков и быть перпендикулярной им.
3. Проверьте, что построенные серединные перпендикуляры совпадают. Если они образуют одну прямую, это и есть искомая ось.

Ответ. Искомая ось — общая серединная перпендикулярная к отрезкам, соединяющим соответствующие вершины.

Типичные ошибки

Первая ошибка — откладывать расстояние до оси не по перпендикуляру. Так получаются точки, расположенные наискосок, и ось уже не является серединным перпендикуляром. Проверяйте, образуют ли отрезок между точками и ось прямой угол.

Вторая ошибка — откладывать от оси разные расстояния. Её допускают, когда измеряют расстояние до оси по разным наклонным линиям. Измеряйте оба отрезка на одном перпендикуляре и сравнивайте их длины.

Третья ошибка — считать, что отражение меняет длины и углы. На самом деле осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому образ фигуры равен исходной фигуре. Сравните хотя бы несколько соответствующих сторон и углов.

Четвёртая ошибка — объявлять осью любую прямую, проходящую через точку пересечения фигуры с осью. Одной общей точки недостаточно: после отражения вся фигура должна совпасть с исходной. Проверьте положение всех вершин и сторон.

Связь с другими темами

До изучения осевой симметрии нужно уметь проводить перпендикуляр к прямой и находить середину отрезка. Эти навыки непосредственно используются при построении образа точки и при восстановлении оси по двум соответствующим точкам.

Осевая симметрия связана с равенством фигур, потому что отражение сохраняет длины и углы. Она помогает исследовать симметрию многоугольников, находить их оси и строить геометрические фигуры с заданными свойствами.

Что запомнить

• Ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точку и её образ.
• Точки на оси остаются на месте.
• Соответствующие точки лежат на одном перпендикуляре к оси.
• Расстояния от соответствующих точек до оси равны.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Образ фигуры строят по образам её точек.