§ 17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Движение (перемещение) фигуры — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Иными словами, если точки A и B перешли в A′ и B′, то AB = A′B′. Это определение помогает проверить, изменились ли размеры фигуры: достаточно помнить, что расстояния сохраняются для каждой пары её точек.

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка смещается на один и тот же вектор. Фигура при этом не поворачивается и не растягивается, а перемещается в заданном направлении. Перенос — конкретный способ изменить положение фигуры, не меняя её формы и размеров.

Вектор переноса — вектор, задающий направление и длину смещения всех точек при параллельном переносе. Если он направлен вправо и имеет длину 4 см, то каждая точка перемещается именно на 4 см вправо. По этому вектору можно однозначно построить образ всей фигуры.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании. При переносе на вектор a образ точки A обозначают A′ и записывают AA′ = a; отрезок AA′ при этом направлен так же, как a, и имеет такую же длину. Обозначение позволяет точно описать построение и не перепутать исходную точку с её образом.

Как это устроено

Расстояния между всеми парами точек определяют длины отрезков, а длины отрезков позволяют восстановить размеры фигуры и взаимное расположение её частей. Если все эти расстояния сохраняются, ни одна часть не может стать длиннее или короче относительно другой. Поэтому фигура сохраняет размеры и форму, хотя целиком может оказаться в другом месте плоскости.

Чтобы задать параллельный перенос, достаточно выбрать один вектор a. Для каждой точки A строят точку A′ так, чтобы отрезок AA′ был равен этому вектору по длине и направлению: AA′ = a. Одинаковость вектора для всех точек принципиальна: если каждому месту фигуры назначить своё смещение, фигура может деформироваться и это уже не будет параллельным переносом.

Пусть концы отрезка AB перешли в A′ и B′. Тогда AA′ и BB′ равны и сонаправлены, поэтому четырёхугольник ABB′A′ является параллелограммом, если перенос не направлен вдоль AB; отсюда A′B′ параллелен AB и равен ему. Если перенос направлен вдоль самого отрезка, его образ также лежит на той же прямой и имеет ту же длину. Прямая состоит из точек, и при смещении всех её точек на один вектор получается параллельная прямая; когда вектор направлен вдоль исходной прямой, она переходит в себя.

Для любых точек A и B при переносе на a их образы получают одинаковое смещение, поэтому вектор A′B′ равен AB. Следовательно, длина A′B′ равна AB, то есть расстояние сохраняется. Из сохранения длин следует, что сохраняются и углы: их стороны переходят в равные параллельные отрезки, а угол между такими направлениями не меняется. Поэтому перенос является движением и переводит фигуру в равную ей фигуру.

Вернуться к исходному положению можно, выполнив перенос на противоположный вектор −a. Он имеет ту же длину, что и a, но направлен в обратную сторону. Сначала точка смещается на a, а затем на −a, поэтому суммарное перемещение равно нулю и каждая точка возвращается туда, откуда начала путь.

Свойства параллельного переноса

Сначала найдите в таблице тот объект, который рассматривается в задаче, а затем примените соответствующее свойство. Например, для построения образа отрезка достаточно перенести его концы, а для прямой нужно проверить, параллельна ли она вектору переноса. Так таблица помогает выбрать нужное утверждение, не смешивая свойства разных фигур.

Разбор задач

Задача 1. Построение образа точки

Точка A перенесена на вектор a. Требуется построить её образ A′. Вектор задаёт сразу и направление движения, и его длину, поэтому нельзя выбирать положение образа только по одному из этих признаков. Построим из точки A вектор, равный a.

1. Отметьте начало заданного вектора a и запомните его направление и длину.
2. Приложите начало равного ему вектора к точке A, не меняя направление и длину.
3. Конец построенного вектора обозначьте A′; тогда AA′ = a.

Проверьте построение: отрезок AA′ должен быть параллелен a, сонаправлен с ним и равен ему по длине. Если хотя бы одно условие нарушено, точка построена неверно. Ответ: A′ — конец вектора, равного a и отложенного от A.

Задача 2. Образ треугольника

Треугольник ABC перенесён на вектор a. Нужно построить образ треугольника и указать соответствующие вершины. Переносится вся фигура, поэтому одной построенной точки недостаточно. Каждую вершину нужно сместить на один и тот же вектор, сохраняя порядок обозначений.

1. Из A постройте вектор AA′ = a; из B — BB′ = a; из C — CC′ = a.
2. Проверьте, что три отрезка переноса параллельны, сонаправлены и равны.
3. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′.

Соответствующие вершины — A и A′, B и B′, C и C′. Полученный треугольник A′B′C′ — образ ABC: все его стороны равны соответствующим сторонам исходного треугольника. Ответ: построен треугольник A′B′C′.

Задача 3. Перенос отрезка

Докажите, что параллельный перенос переводит отрезок в равный ему отрезок. Пусть концы исходного отрезка AB переходят в A′ и B′, причём AA′ = BB′ = a. Нужно сравнить длины AB и A′B′. Разберём, что происходит с направлением отрезка при одинаковом смещении концов.

1. Так как концы смещены на один вектор, четырёхугольник ABB′A′ является параллелограммом, если перенос не направлен вдоль AB.
2. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому AB = A′B′; кроме того, эти стороны параллельны.
3. Если вектор переноса направлен вдоль AB, точки A′ и B′ лежат на той же прямой, а длина отрезка не меняется от одинакового смещения обоих концов.

В обоих случаях длина образа равна длине исходного отрезка. Значит, при переносе отрезок переходит в равный ему отрезок, параллельный исходному или лежащий на той же прямой. Ответ: AB = A′B′.

Типичные ошибки

Первая ошибка — смещать разные точки на векторы разной длины или направления. Её допускают, когда строят образ по отдельным точкам и забывают, что перенос задаётся одним вектором; фигура из-за этого может исказиться. Проверьте, что все отрезки от исходных точек к их образам равны, параллельны и сонаправлены.

Вторая ошибка — считать направление вектора переносом-поворотом фигуры. Вектор указывает, куда и насколько перемещается каждая точка, но не заставляет фигуру поворачиваться. Сверьте направление каждого отрезка, соединяющего точку с её образом: оно должно совпадать с направлением вектора переноса.

Третья ошибка — полагать, что образ прямой всегда отличается от исходной. Если прямая параллельна вектору переноса, точки прямой просто перемещаются вдоль неё, поэтому образом остаётся та же прямая. Проверьте, лежит ли вектор переноса на направлении этой прямой, прежде чем чертить новую.

Четвёртая ошибка — перенести только одну вершину и считать, что построена вся фигура. Одна вершина задаёт лишь часть результата, а образ каждой другой точки тоже должен быть смещён на тот же вектор. Для многоугольника постройте образы всех вершин и соедините их в прежнем порядке; одинаковость векторов можно использовать как контроль.

Связь с другими темами

Для построения переноса нужны понятия вектора, равных и противоположных векторов, а также умение отложить заданный вектор от выбранной точки. Сохранение расстояний связывает движение с равенством фигур и помогает доказывать, что соответствующие отрезки и углы не изменились. Параллельный перенос применяется в задачах на построение и доказательство, а также при изучении симметрий и координатного метода. В дальнейшем векторное описание позволяет задавать преобразования точно и компактно.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• При параллельном переносе все точки смещаются на один и тот же вектор.
• Образ отрезка при переносе равен исходному отрезку и параллелен ему.
• Образ прямой параллелен исходной или совпадает с ней.
• Параллельный перенос сохраняет длины, углы и форму фигуры.
• Обратный перенос задаётся противоположным вектором.