5.5. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Симметричные точки относительно прямой — две точки, для которых эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему их. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему. Это определение помогает проверить, действительно ли точки являются зеркальными отражениями друг друга.

Осевая симметрия — преобразование, при котором каждой точке сопоставляется симметричная ей относительно заданной прямой точка. Прямую, относительно которой выполняется отражение, называют осью. Такое преобразование удобно для описания зеркального отражения и построения изображений фигур.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура отображается сама в себя. Иначе говоря, после отражения фигура точно совпадает со своим первоначальным положением. Это понятие позволяет находить в фигуре повторяющееся, зеркальное устройство.

Симметричные фигуры — фигуры, точки одной из которых попарно соответствуют точкам другой при осевой симметрии. Каждой точке первой фигуры соответствует её образ во второй. Так можно описать связь между фигурой и её отражением и сравнить их свойства.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой l, сначала проведи из A перпендикуляр к l. Обозначь точку пересечения перпендикуляра с прямой: она станет серединой отрезка между A и её образом. Затем продолжи перпендикуляр за прямую и отложи такое же расстояние, как от A до l. Равные расстояния по разные стороны прямой нужны для того, чтобы l проходила ровно посередине между точкой и её образом.

Если точка лежит на оси, перпендикуляр от неё до оси имеет длину ноль. При отражении образ должен находиться на этом перпендикуляре и на таком же расстоянии по другую сторону оси. Но отложить нулевое расстояние можно только в том же месте, поэтому точка остаётся неподвижной. Это объясняет, почему все точки оси сохраняют своё положение.

При отражении сохраняются расстояния между соответствующими точками. Это происходит потому, что для каждой точки строится образ на равном расстоянии от оси, а отражение меняет только расположение, но не размер фигуры. В результате соответствующие отрезки равны, а величины соответствующих углов тоже не меняются. Поэтому фигура и её образ равны, даже если образ расположен по другую сторону прямой.

Чтобы проверить, является ли прямая осью симметрии фигуры, мысленно отрази фигуру относительно неё или построй образы её точек. Если каждая точка фигуры после отражения попадает на другую точку этой же фигуры, части совпадут полностью. Если хотя бы часть не совпадает, прямая не является осью симметрии. Одного лишь разделения фигуры на две части недостаточно: важна точность совпадения после отражения.

Количество осей зависит от устройства фигуры. Если она совмещается сама с собой при отражениях относительно нескольких прямых, у неё несколько осей симметрии. Если такого отражения нет ни относительно одной прямой, осей симметрии у фигуры нет. Проверять нужно каждую предполагаемую ось отдельно: симметрия относительно одной прямой не означает симметрию относительно любой другой.

Основные свойства осевой симметрии

В таблице собраны признаки, которые помогают разбирать построения и проверять ответы. При поиске образа точки сначала используй перпендикуляр и равные расстояния, а при проверке симметрии фигуры — совпадение после отражения. Свойства фигуры и её образа пригодятся, когда нужно доказать равенство соответствующих частей.

Разбор задач

Задача 1. Точки A и B симметричны относительно прямой l. Как расположена прямая l относительно отрезка AB? Здесь важно не определять положение прямой по чертежу на глаз, а применить признак симметричных точек. По определению прямая, относительно которой точки симметричны, является серединным перпендикуляром к отрезку между ними.

1. Соедини точки A и B отрезком AB.
2. Используй определение: ось симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего симметричные точки.
3. Учти, что серединный перпендикуляр образует с отрезком прямой угол.

Ответ. Прямая l перпендикулярна AB и проходит через его середину. Значит, она является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Это верно независимо от того, как прямая расположена на странице.

Задача 2. Построй точку A′, симметричную точке A относительно прямой l, и проверь построение. Чтобы получить правильную точку, надо расположить её на перпендикуляре к оси и на другой стороне прямой. Одновременно нужно проследить, чтобы расстояния от A и A′ до l были равны.

1. Проведи из A перпендикуляр к l и обозначь точку пересечения через H.
2. Продолжи прямую AH за l. На продолжении отложи отрезок HA′, равный HA.
3. Проверь, что AH перпендикулярен l и что H — середина отрезка AA′.

Ответ. Полученная точка A′ симметрична A относительно l. Проверка показывает, что прямая l делит AA′ пополам и перпендикулярна ему. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, построение нужно исправить.

Задача 3. Треугольник A′B′C′ получен отражением треугольника ABC относительно прямой l. Докажи, что треугольники равны, и укажи соответствующие стороны и углы. При отражении каждой вершине соответствует её образ: A — A′, B — B′, C — C′. Значит, сравнивать нужно именно пары частей с соответствующими обозначениями.

1. Запиши соответствие вершин: A ↔ A′, B ↔ B′, C ↔ C′.
2. Осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому AB = A′B′, BC = B′C′ и AC = A′C′.
3. Она сохраняет и величины углов: ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′ и ∠C = ∠C′.

Ответ. Треугольники ABC и A′B′C′ равны, поскольку при отражении сохраняются соответствующие стороны и углы. Соответствующие стороны: AB и A′B′, BC и B′C′, AC и A′C′. Соответствующие углы: ∠A и ∠A′, ∠B и ∠B′, ∠C и ∠C′.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что симметричные точки обязательно лежат на одной горизонтали или вертикали. Так думают, потому что часто видят рисунки с горизонтальной или вертикальной осью, но направление страницы не имеет значения. Проверь, образуют ли отрезок между точками и ось прямой угол: перпендикуляр может быть наклонным.

Ошибка: откладывать от точки до оси и от оси до образа разные расстояния. Иногда при построении ориентируются на глаз и не проверяют середину отрезка. Для самопроверки измерь оба расстояния: они должны быть равны, а ось должна проходить через середину отрезка между точками.

Ошибка: называть осью симметрии любую прямую, которая делит фигуру на две части. Части могут быть разной формы или размера, поэтому одного разделения недостаточно. Отрази фигуру относительно прямой и проверь, совпали ли части полностью; если нет, это не ось симметрии.

Ошибка: думать, что при отражении меняются длины или углы. Такое впечатление может возникнуть, потому что фигура оказывается по другую сторону прямой и выглядит иначе расположенной. Сравни соответствующие отрезки и углы: их величины сохраняются, меняется только расположение фигуры.

Связь с другими темами

Для построения симметричной точки понадобятся уже знакомые понятия: перпендикулярные прямые, середина отрезка и расстояние от точки до прямой. Они позволяют не угадывать положение образа, а точно его находить и проверять. Осевая симметрия также связана с равенством фигур: отражённые фигура и её образ имеют равные соответствующие части. Эти знания пригодятся при геометрических построениях и изучении свойств разных фигур.

Что запомнить

• Ось симметрии перпендикулярна отрезку, соединяющему симметричные точки.
• Ось проходит через середину отрезка между симметричными точками.
• Точки на оси остаются на месте.
• При осевой симметрии сохраняются расстояния и углы.
• Ось симметрии фигуры отображает её саму в себя.
• У фигуры может быть несколько осей симметрии или ни одной.