5.4. Сравнение сторон и углов треугольника

Определения и обозначения

Противолежащая сторона — сторона треугольника, у которой нет общей вершины с данным углом. Чтобы найти её на чертеже, посмотри, в какой вершине расположен угол, а затем найди сторону напротив этой вершины. Например, углу C в треугольнике ABC противолежит сторона AB. Это понятие нужно, чтобы не перепутать, какие элементы можно сравнивать по теореме.

Противолежащий угол — угол треугольника, расположенный напротив данной стороны. Найди сторону и посмотри на вершину, которая не принадлежит этой стороне: угол в этой вершине и будет противолежащим. Например, против стороны AC лежит угол B. Такое обозначение помогает установить правильное соответствие между сторонами и углами.

Сравнение сторон и углов треугольника — установление того, как соотносятся длины сторон и величины углов напротив них. Для этого каждую сторону рассматривают только вместе с её противолежащим углом. Если стороны расположены по длине от меньшей к большей, то в том же порядке расположены и соответствующие углы. Эта связь позволяет делать выводы, даже когда численные значения сторон или углов неизвестны.

Как это устроено

Теорема утверждает: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Например, если AB > AC, то угол C больше угла B, потому что именно C расположен напротив AB, а B — напротив AC. И наоборот, из ∠C > ∠B следует AB > AC. Сравниваются не любые элементы треугольника, а только пары, расположенные друг напротив друга.

Соответствие важно потому, что сторона и угол при её вершине не являются парой из этой теоремы. У стороны AB две вершины — A и B, а угол напротив неё находится в третьей вершине C. Если вместо него взять угол A или B, связь между длиной AB и величиной выбранного угла теоремой не устанавливается. Поэтому перед решением удобно подписать напротив каждой стороны соответствующий угол.

Идею доказательства можно увидеть, если сравнить стороны AB и AC и предположить, что AB больше. На стороне AB отмечают точку D так, чтобы AD = AC; тогда D находится между A и B. Треугольник ACD равнобедренный, поэтому его углы при C и D равны. Угол при D является внешним углом треугольника BCD: он больше каждого из двух внутренних углов, в частности угла B, а угол C исходного треугольника ещё больше угла ACD. Так сравнение сторон приводит к сравнению противолежащих углов.

Если расположить стороны треугольника по возрастанию, теорема задаст такой же порядок углов напротив них. Значит, самой большой стороне соответствует самый большой угол, а самой маленькой — самый маленький. Для этого не требуется знать точные длины или градусные меры: достаточно установить порядок. При равных сторонах соответствующие углы тоже равны.

Теорему можно применять и в обратном направлении: сначала сравнить углы, а затем заключить, какая сторона длиннее. Это не отдельное случайное правило, а вторая часть утверждения: против большего угла лежит большая сторона. Например, если ∠C > ∠B, то сторона напротив C, то есть AB, длиннее стороны напротив B, то есть AC. Важно сохранять соответствие и при таком переходе от углов к сторонам.

Сравнение сторон и противолежащих углов треугольника

Сначала определи, что дано: длины сторон или величины углов. Затем найди для каждого элемента пару напротив и примени соответствующую строку таблицы. Буквы в обозначениях можно заменить другими, но правило соответствия не меняется.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC стороны AB = 7, AC = 5. Сравните углы B и C. Здесь известны две стороны, поэтому нужно найти углы напротив них, а не углы при их концах. Сравним 7 и 5, затем применим теорему к соответствующим парам.

1. Сравним длины: AB = 7, AC = 5, значит, AB > AC. Это показывает, какая из двух сторон больше. Пока мы сравнили только стороны.
2. Найдём противолежащие углы: напротив AB лежит ∠C, напротив AC — ∠B. Именно их сравнение следует из теоремы. Угол при вершине A к этой паре не относится.
3. Применим теорему: большей стороне AB соответствует больший угол C. Следовательно, ∠C > ∠B. Проверка: большему углу в выводе соответствует сторона длиной 7, а не 5.

Ответ: ∠C > ∠B.

Задача 2. В треугольнике ABC ∠A = 48°, ∠B = 72°. Сравните стороны BC и AC. Каждая из этих сторон лежит напротив одного из углов, но величина угла C пока неизвестна. Сначала найдём её, используя сумму углов треугольника, затем сравним нужные углы.

1. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠C = 180° − 48° − 72° = 60°. Теперь известны все три угла. Вычисление нужно, поскольку напрямую сравнить углы A и B недостаточно для сравнения выбранных сторон.
2. Сторона BC лежит напротив угла A, а сторона AC — напротив угла B. Получаем ∠A = 48° < ∠B = 72°. Значит, угол напротив AC больше.
3. По теореме против большего угла лежит большая сторона. Поэтому AC > BC. Угол C здесь помогает проверить сумму, но для сравнения этих сторон нужны углы A и B.

Ответ: AC > BC.

Задача 3. В треугольнике ABC известно, что AB > BC, а BC > AC. Расположите углы по возрастанию. Дано последовательное сравнение сторон: самая маленькая — AC, затем BC, самая большая — AB. Для каждой стороны определим угол напротив неё и перенесём порядок на эти углы.

1. Из AB > BC следует, что угол C напротив AB больше угла A напротив BC. Значит, ∠A < ∠C. Это первая пара в порядке углов. Обе стороны сопоставлены с вершинами, которых в их обозначениях нет.
2. Из BC > AC следует, что угол A напротив BC больше угла B напротив AC. Получаем ∠B < ∠A. Теперь объединяем сравнения: ∠B < ∠A и ∠A < ∠C.
3. Запишем результат по возрастанию: сначала ∠B, затем ∠A, затем ∠C. Это соответствует порядку сторон AC < BC < AB. Можно проверить ответ, сопоставив каждый угол со своей стороной напротив.

Ответ: ∠B < ∠A < ∠C.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать сторону с углом при её вершине. Так делают, потому что сторона соединяет две вершины и кажется связанной с углами в них. Но теорема сопоставляет стороне угол в третьей вершине. Для проверки отметь вершины стороны и найди ту, которой у неё нет.

Вторая ошибка — путать соответствие сторон и углов: например, считать, что AB лежит напротив угла A или B. Это происходит, если ориентироваться на совпадающие буквы, а не на расположение элементов. Проверь себя: угол напротив стороны находится в вершине, не входящей в название этой стороны, поэтому AB соответствует углу C.

Третья ошибка — делать вывод о сторонах по сравнению углов, которые не лежат напротив этих сторон. Само сравнение углов ещё не даёт нужного ответа, пока не установлено соответствие. Перед применением обратного направления теоремы подпиши напротив каждого сравниваемого угла его сторону. Если пары не совпадают с теми, что спрашивает задача, вывод делать нельзя.

Четвёртая ошибка — считать, что равные стороны могут иметь разные противолежащие углы. Иногда сравнение ошибочно продолжают так, будто одна из равных сторон всё же больше. Если бы углы различались, напротив большего угла по теореме лежала бы большая сторона, что противоречило бы равенству. Поэтому равным сторонам соответствуют равные углы; проверь, что порядок обеих пар согласован.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужны обозначения треугольника, его сторон и углов: без них трудно установить соответствующие пары. Также пригодится свойство суммы углов треугольника, например когда требуется найти третий угол по двум известным. Теорема помогает при доказательстве свойств равнобедренного треугольника и в задачах на сравнение элементов. Позже эта связь будет полезна при геометрических неравенствах и оценке возможных длин сторон.

Что запомнить

• Большей стороне треугольника противолежит больший угол.
• Большему углу треугольника противолежит большая сторона.
• Сторону сопоставляют только с углом напротив неё.
• Самой большой стороне соответствует самый большой угол.
• Равным сторонам соответствуют равные противолежащие углы.