5.3. Взаимно обратные утверждения

Определения и обозначения

Утверждение — фраза, о которой можно сказать, истинна она или ложна. Например, «у равностороннего треугольника все стороны равны» — истинное геометрическое утверждение, а «у любого треугольника две стороны равны» — ложное. Проверка истинности нужна, чтобы отличать доказанное правило от просто похожей на правду фразы.

В утверждении вида «если …, то …» условие — то, что предполагается, а заключение — то, что должно из этого следовать. Например, во фразе «если треугольник равносторонний, то он равнобедренный» условие — «треугольник равносторонний», заключение — «он равнобедренный». Такое разделение помогает понять, какое свойство дано и что именно требуется обосновать.

Обратное утверждение получают, меняя местами условие и заключение исходного утверждения. Для примера выше обратное звучит так: «если треугольник равнобедренный, то он равносторонний». Содержание каждой части сохраняется, поэтому становится ясно, что именно изменилось: не сами свойства, а порядок, в котором они связаны.

Исходное и полученное из него обратное утверждения называются взаимно обратными. Одно может быть истинным, а другое ложным: равносторонний треугольник действительно равнобедренный, но равнобедренный треугольник не обязательно равносторонний. Это понятие нужно, чтобы не переносить доказательство одного утверждения на другое без проверки.

Как это устроено

Чтобы выделить части утверждения, сначала найдите слова «если» и «то». Всё, что сообщается после «если», принимается за условие, а то, что следует после «то», — за заключение. Например, в утверждении о равностороннем треугольнике данность — равенство всех его сторон, а вывод — наличие равных сторон, достаточное для равнобедренного треугольника.

Обратное утверждение составляют перестановкой уже выделенных частей: заключение исходного становится условием, а условие — заключением. При этом нельзя подменять термины или менять смысл фразы, иначе получится не обратное утверждение, а другое. Такая перестановка позволяет проверить, работает ли связь в обе стороны.

Рассмотрим утверждение: если треугольник равносторонний, то он равнобедренный. Оно истинно, потому что равенство всех трёх сторон означает, что как минимум две стороны равны. Обратное утверждает, что любой равнобедренный треугольник равносторонний, но это неверно: у равнобедренного треугольника может быть только пара равных сторон, а третья — другой длины.

Иногда оба утверждения истинны. Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны; обратное утверждает, что равенство таких углов означает параллельность прямых. Второе утверждение верно по признаку параллельности прямых: равенство накрест лежащих углов служит достаточным основанием считать прямые параллельными. Поэтому здесь исходное утверждение и обратное к нему оказываются истинными оба.

Одной перестановки частей недостаточно, чтобы решить, истинно ли обратное утверждение. Его можно доказать, используя известные свойства и признаки, либо опровергнуть примером, в котором условие выполняется, а заключение — нет. Проверка именно таких двух возможностей нужна потому, что исходное доказательство устанавливает связь только от условия к заключению.

Исходное утверждение и обратное утверждение

Сначала найдите в исходной фразе условие и заключение, затем проследите, как они расположены в двух столбцах. Таблица помогает составить обратную фразу, не меняя содержания её частей. После этого истинность каждой фразы устанавливают отдельно.

Разбор задач

1. Условие, заключение и обратная фраза

Задача. В утверждении «Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный» выделите условие и заключение и сформулируйте обратное утверждение. Чтобы не перепутать части, сначала определим, что задано после «если», а затем посмотрим, что сообщается после «то». Содержание этих частей оставим прежним.

1. Условие: треугольник равносторонний.
2. Заключение: треугольник равнобедренный.
3. Поменяем эти части местами: «Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний».

Ответ: условие — равносторонний треугольник, заключение — равнобедренный треугольник; обратное утверждение: «Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний». Обратная фраза сформулирована, но её истинность ещё предстоит проверить: перестановка частей не является доказательством.

2. Равенство накрест лежащих углов

Задача. Проверьте обратное утверждение к фразе «Если две прямые параллельны, то при пересечении секущей накрест лежащие углы равны». Здесь условие — параллельность прямых, а заключение — равенство накрест лежащих углов. Для проверки нужно поменять эти части и выяснить, верно ли получившееся утверждение.

1. Сформулируем обратное: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны».
2. Сравним его с известным признаком параллельности: равенство накрест лежащих углов означает, что прямые параллельны.
3. Следовательно, обратное утверждение истинно.

Ответ: обратное утверждение истинно, поскольку равенство накрест лежащих углов является признаком параллельности прямых. Важно, что мы обосновали его отдельно, а не заключили о его истинности только из исходной фразы.

3. Диагонали четырёхугольника

Задача. Сформулируйте обратное к утверждению «Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм». Затем определите, истинно ли оно. Важно не перепутать направление: в обратной фразе именно параллелограмм должен стать условием.

1. Исходное условие — диагонали делятся точкой пересечения пополам; заключение — четырёхугольник является параллелограммом.
2. Меняем части местами: «Если четырёхугольник — параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам».
3. Это свойство параллелограмма: его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
4. Значит, обратное утверждение истинно.

Ответ: «Если четырёхугольник — параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам»; утверждение истинно, так как следует из свойства диагоналей параллелограмма. Здесь обе фразы верны, но каждую обосновывает своё свойство.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать обратное утверждение истинным, раз исходное доказано. Это происходит потому, что обе фразы содержат одинаковые свойства, но направление связи в них разное. Проверьте себя: спросите отдельно, следует ли новое заключение из нового условия, и приведите доказательство либо опровергающий пример.

Вторая ошибка — при составлении обратной фразы менять слова или смысл условия и заключения, а не переставлять их. Так можно незаметно получить утверждение, которое не является обратным исходному. Для самопроверки выпишите обе исходные части отдельно и вставьте их в обратном порядке, не редактируя их содержание.

Третья ошибка — путать обратное утверждение с отрицанием исходного. Перестановка «если A, то B» в «если B, то A» не говорит, что исходная фраза ложна; это новое утверждение, истинность которого тоже надо проверить. Четвёртая ошибка — предлагать контрпример, не удовлетворяющий условию: такой объект ничего не опровергает. Контрпример подходит только тогда, когда условие обратного выполнено, а его заключение нарушено.

Связь с другими темами

Перед этой темой нужно уметь находить условие и заключение в конструкциях «если …, то …», а также знать определения геометрических фигур. Тогда можно точно понять, какие свойства сравниваются и что требуется проверить. Позже умение работать с обратными утверждениями пригодится при изучении обратных теорем, признаков равенства и подобия фигур, а также признаков параллельности прямых.

Что запомнить

• Обратное утверждение получают перестановкой условия и заключения.
• Если исходное утверждение имеет вид «если A, то B», обратное имеет вид «если B, то A».
• Истинность исходного утверждения сама по себе не доказывает истинность обратного.
• Обратное утверждение нужно доказывать или опровергать отдельно.
• Контрпример показывает, что утверждение неверно.
• Если истинны и исходное, и обратное утверждения, их называют взаимно обратными.