5.2. Серединный перпендикуляр

Определения и обозначения

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Середина делит отрезок на две равные части, а перпендикуляр образует с ним прямой угол. Например, если середина AB — точка M, то серединный перпендикуляр проходит через M под прямым углом к AB. Определение помогает проверить, правильно ли проведена такая прямая.

Равноудалёнными от концов отрезка называют точки, расстояния от которых до обоих концов равны. Если точка P равноудалена от концов A и B, это записывают так: PA = PB. Здесь PA и PB — длины отрезков, то есть расстояния от P до соответствующих точек. Такое обозначение позволяет коротко записывать условие задачи и использовать равенство при вычислениях.

Геометрическое место точек — множество всех точек, которые обладают одним заданным свойством. Например, для отрезка AB таким свойством может быть равенство расстояний до A и B: PA = PB. Все точки, для которых это условие выполняется, лежат на серединном перпендикуляре к AB, и каждая точка этой прямой обладает тем же свойством. Понятие геометрического места помогает описывать целое множество точек, а не одну точку.

Как это устроено

Чтобы построить серединный перпендикуляр, сначала найди середину отрезка: она должна делить его на две равные части. Затем через неё проведи прямую под прямым углом к отрезку. Если известна только линейка и нужно точно построить оба элемента, можно воспользоваться циркулем: провести дуги одинакового радиуса из концов отрезка, а затем соединить точки пересечения дуг. Эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Рассмотрим точку P на серединном перпендикуляре к AB и обозначим середину отрезка через M. Треугольники PMA и PMB прямоугольные, потому что PM перпендикулярна AB. У них общий катет PM, а катеты AM и MB равны, так как M — середина AB. Значит, прямоугольные треугольники равны, поэтому их гипотенузы PA и PB тоже равны.

Теперь докажем обратное: пусть PA = PB, а M — середина AB. Соединим P с M. Треугольники PMA и PMB имеют равные стороны PA и PB, общий катет PM и равные отрезки AM и MB; из равенства трёх соответствующих сторон следует, что треугольники равны. Поэтому углы PMA и PMB равны, но вместе они образуют развёрнутый угол, то есть их сумма равна 180°. Значит, каждый угол прямой, а PM перпендикулярна AB и проходит через его середину.

Из двух доказанных утверждений получается точное описание геометрического места точек, равноудалённых от концов AB. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от A и B, а любая точка, равноудалённая от A и B, принадлежит этому перпендикуляру. Первое утверждение задаёт свойство точек прямой, а обратное показывает, что других точек с этим свойством нет. Поэтому серединный перпендикуляр и есть всё искомое геометрическое место.

Это свойство можно применять и к расстояниям, и к доказательствам. Если P лежит на серединном перпендикуляре к AB, сразу записывай PA = PB, а затем подставляй выражения для этих расстояний или их известные значения. Если известно, что PA = PB, можно заключить, что P лежит на серединном перпендикуляре, но нужно назвать обратное утверждение. В обоих случаях сначала проверь, что точки и отрезок обозначены правильно.

Серединный перпендикуляр и равноудалённость от концов отрезка

В таблице собраны прямое и обратное утверждения. Сначала найди в столбце «Что известно» условие своей задачи, а затем прочитай вывод и его обоснование. Эти два направления нельзя путать: каждое из них применяется при своём условии.

Разбор задач

Отрезок AB равен 8 см. Прямая проходит через его середину и перпендикулярна AB. Назовите эту прямую и укажите, на каком расстоянии от A и B находится любая её точка P.

1. По определению прямая, проходящая через середину AB и перпендикулярная AB, — серединный перпендикуляр к AB.
2. Точка P лежит на этой прямой, поэтому применяем свойство серединного перпендикуляра: расстояния от P до концов отрезка равны.
3. Записываем результат: PA = PB. Численно найти каждое расстояние нельзя, так как положение P на прямой не задано; длина AB = 8 см этого не меняет.

Ответ: это серединный перпендикуляр к AB; для любой его точки P выполняется PA = PB, но конкретное расстояние определить нельзя.

Точка P равноудалена от концов отрезка AB. Докажите, что P лежит на серединном перпендикуляре к AB.

1. Обозначим середину AB буквой M и соединим точки P и M.
2. По условию PA = PB, по определению середины AM = MB, а отрезок PM является общей стороной треугольников PMA и PMB.
3. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому углы PMA и PMB равны. Вместе они составляют 180°, значит, каждый равен 90°.
4. Следовательно, PM перпендикулярна AB и проходит через середину M. Значит, PM — серединный перпендикуляр, а точка P принадлежит ему.

Ответ: P лежит на серединном перпендикуляре к AB.

Точка P лежит на серединном перпендикуляре к AB, PA = 3x + 1, PB = 5x − 7. Найдите x и расстояние от P до концов отрезка.

1. Так как P лежит на серединном перпендикуляре, PA = PB. Поэтому приравниваем выражения: 3x + 1 = 5x − 7.
2. Переносим слагаемые: 8 = 2x, откуда x = 4.
3. Подставляем найденное значение: PA = 3 · 4 + 1 = 13, а PB = 5 · 4 − 7 = 13. Получились одинаковые расстояния, как и должно быть.

Ответ: x = 4, расстояние от P до каждого конца отрезка равно 13.

Типичные ошибки

Ошибка: считать серединным перпендикуляром любую прямую, перпендикулярную отрезку. Перпендикуляр может проходить через любую точку отрезка, но для серединного перпендикуляра эта точка обязана быть серединой. Такую неточность допускают, сосредоточившись только на прямом угле. Проверь, что точка пересечения делит отрезок на две равные части.

Ошибка: путать середину отрезка с серединным перпендикуляром. Середина — одна точка на отрезке, а серединный перпендикуляр — целая прямая, проходящая через неё. Сходство слов может создать впечатление, будто это одно и то же. Чтобы проверить себя, уточни, о чём говорится: о точке, делящей отрезок пополам, или о прямой.

Ошибка: считать, что равноудалёнными от концов могут быть только точки на самом отрезке. На самом деле серединный перпендикуляр продолжается по обе стороны от отрезка, и его точки тоже равноудалены от концов. Ошибка появляется, если представить геометрическое место слишком маленьким. Проверь, что рассматриваешь всю прямую, а не только её часть внутри отрезка.

Ошибка: из равенства расстояний сразу заключать, что точка лежит на серединном перпендикуляре, не называя основания вывода. Это обратное утверждение, а не прямое свойство точек прямой. Оба утверждения похожи, поэтому легко применить нужное направление, но забыть обоснование. Проверь условие: если известны равные расстояния, сослаться нужно именно на обратное утверждение.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения середины отрезка и перпендикулярных прямых, а также знание признаков равенства прямоугольных треугольников. Равенство треугольников объясняет, почему расстояния до концов отрезка оказываются равными. Дальше свойство серединного перпендикуляра помогает в построениях циркулем и линейкой и в задачах, где требуется доказать равенство расстояний. Оно также служит примером геометрического места точек.

Что запомнить

• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка.
• Серединный перпендикуляр перпендикулярен отрезку.
• Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
• Любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
• Серединный перпендикуляр — геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.